在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：5：6，三角形周长为30，则a=______．

∵△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：5：6，
由正弦定理得
[a/2R：
b
2R：
c
2R]=4：5：6，
∴a：b：c=4：5：6，
∴a=2cm，b=2.5cm，c=3cm
故答案为：②④

点评：
本题考点： 正弦定理的应用．

考点点评： 本题考查的知识点是正弦定理的应用，正弦定理及其推论（边角互化）是我们解三角形中最常用的结论，一定要熟练掌握．

∵sinA：sinB：sinC=4：5：6
根据正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，不妨设a=4k，b=5k，c=6k（k＞0）
cosA=
b2+c2−a2
2bc=
25k2+36k2−16k2
2×30k2＝
3
4
同理可得：cosB=[9/16]，cosC=[1/8]
∴cosA：cosB：cosC=[3/4]：[9/16]：[1/8]=12：9：2
故答案为：12：9：2

点评：
本题考点： 余弦定理的应用；正弦定理的应用．

考点点评： 本题主要考查正余弦定理的应用．在解题时经常用正弦定理将角的关系转化到边的关系，再由余弦定理解题．

由题意，根据正弦定理得：a：b：c=4：5：6
∵三角形的周长是7.5
∴a=2，b=2.5，c=3
故选D．

点评：
本题考点： 解三角形．

考点点评： 本题以三角形为载体，考查正弦定理的运用，属于基础题．

∵sinA：sinB：sinC=4：5：6
根据正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，不妨设a=4k，b=5k，c=6k（k＞0）
cosA=
b2+c2−a2
2bc=
25k2+36k2−16k2
2×30k2＝
3
4
同理可得：cosB=[9/16]，cosC=[1/8]
∴cosA：cosB：cosC=[3/4]：[9/16]：[1/8]=12：9：2
故答案为：12：9：2

点评：
本题考点： 余弦定理的应用；正弦定理的应用．

考点点评： 本题主要考查正余弦定理的应用．在解题时经常用正弦定理将角的关系转化到边的关系，再由余弦定理解题．

∵sinA：sinB：sinC=4：5：6，
∴根据正弦定理可知边a：b：c=4：5：6，
设a=4x，x＞0，则y=5x，z=6x．
又三角形的周长为7.5，
∴a+b+c=4x+5x+6x=15x=7.5，
解得x=0.5，
∴a=4x=2，y=5x=2.5，z=6x=3．
∴①正确，②错误，③正确．
若A：B：C=4：5：6成立，则A=48°，B=60°，C=72°，
此时cosB=
a2+c2−b2
2ac=
16x2+36x2−25x2
2×4x•6x=[9/16≠
1
2]，
∴A：B：C=4：5：6不成立．
故成立的是①③．
故答案为：2．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；正弦定理．

考点点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理和余弦定理的内容及应用．