高斯公式的计算在用高斯定理求曲面积分的时候,有时候要用到辅助曲面,使积分区域变成封闭曲面.这时候在高斯公式里计算时是要减
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高斯公式的计算
在用高斯定理求曲面积分的时候,有时候要用到辅助曲面,使积分区域变成封闭曲面.
这时候在高斯公式里计算时是要减去还是加上在这个辅助曲面上的积分啊?
我看辅导书里计算的时候有时是加法有时候又是用减法,很是困惑啊.
跟添加的辅助曲面在上侧还是下侧有关系吗?
还是只跟添加在外侧或者内侧有关系啊
在用高斯定理求曲面积分的时候,有时候要用到辅助曲面,使积分区域变成封闭曲面.
这时候在高斯公式里计算时是要减去还是加上在这个辅助曲面上的积分啊?
我看辅导书里计算的时候有时是加法有时候又是用减法,很是困惑啊.
跟添加的辅助曲面在上侧还是下侧有关系吗?
还是只跟添加在外侧或者内侧有关系啊
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sky_hold 共回答了19个问题
|采纳率94.7%- 有,对于高斯公式来说,有“内侧”和“外侧”的区别,法向量的正向是由内至外.如果辅助面在上侧,那么,法向量向上是正的,如果辅助面在下侧,那么法向量向下才是正的.
- 1年前
hky100 共回答了7个问题
|采纳率- 添加了曲面,整个闭合曲面就是高斯面了
左边∫v (▽A)dv=∮s1 AdS+∮s2 AdS(A就是A向量哈,▽是哈密顿算符,就等于书上写的对他求一阶偏微分,s1+s2就是整个面)
也就是说左边是▽A的体积分,右边是构成整个体的两个面积分相加
加减的话就是移项或者因方向产生的符号的事了,上下就是方向的问题
应该说的比较清楚了吧~~~... - 1年前
雪地chwxm 共回答了2个问题
|采纳率- 你先规定整个面得法向量,然后看夹角是否大于90度就能分清了。
- 1年前
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=∫∫∫(2-z)dxdydz
=∫dθ∫rdr∫(2-z)dz (应用柱面坐标变换)
=2π∫[2r√(2-r²)-r-2r²+r³]dr
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=∫∫∫ 1 dxdydz
被积函数为1,积分结果是区域的体积,该圆锥体积为:(1/3)π
=(1/3)π
下面从中减去所补平面的积分
∫∫(Σ1) (x²+y²)dzdx+(z-1)dxdy
=∫∫ -1 dxdy 积分区域为:x²+y²≤1
=-π
因此本题最终结果是:(1/3)π-(-π)=(4/3)π
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∴由高斯公式,得原式=∫∫∫(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz
=∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz
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而下半球面的上侧,可以想象你站在一个碗上面,就是上侧的方向了.
当替这个下半球面补上z ≤ 0这个面,相当于补上方向朝下的天花板.这个空间的方向都指向内测.
外侧的话,考虑一块圆球磁铁,若磁铁是N极的话,所有磁线的方向由磁铁中心指向外面
所以下半圆球的外侧,即下侧方向,就是指上侧反转180°的另一个面,就像灯光从圆球里面射出来就是例子了.上侧的话,补的面不是天花板,而是地板了,补z ≥ 0这个面,方向朝上,所以整个封闭空间都指向外侧.就符合运用高斯公式的条件.1年前查看全部
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div(qR/(4πr^3)=0 R/r--为r的单位矢量,
本例说明静电场E是无源场.
应用高斯定理(或散度定理)求静电场或非静电场非常方便.特别是求静电场中的场强,在普通物理学中常用,这里就再举二例.
现在用高斯公式推导普通物理中的高斯定理,
设S内有一点电荷Q其电场过面积元dS的通量为
E·dS=Ecosθds
=Q/(4πε0r^2)* cosθds θ为(ds^r) ε0----真空中的 介电常数
显然cosθds为面元投影到以r为半径的球面的面积,在球体内,面元dS对电荷Q所张的立体角为dΩ= cosθds/r^2
故 E·ds= Q/(4πε0)dΩ
因此,E对闭合曲面S的通量为∮E·dS=Q/(4πε0) ∮dΩ=Q/ε0
场强学过普通物理的多数人都知道
下面用高斯公式来推导电荷守恒定律,设空间区域V,边界为封闭面S,通过界面流出的电流应等于体积
V内电量的减小率,
即∮J·dS=-∫(dρ/dt)dV J,S ---矢量,dρ/dt--------- 这里为ρ对的偏导数(由于符号在这里用d来代替偏导的符号)
ρ-电荷密度
注:J=Ρv’ V’---为速度矢量
用高斯公式进行积分变换,
∮J·dS=∫∫∫▽·JdV
可得到电荷守恒定律的微分形式:▽·J+ dρ/dt=0,
此式称电流的连续性方程.
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=0
下面计算所补平面的积分
∫∫(Σ1) x²y² dxdy
=∫∫(D) x²y² dxdy 其中积分区域D为x²+y²≤r²,下面用极坐标
=∫∫ ρ^5cos²θsin²θ dρdθ
=∫[0→2π] cos²θsin²θdθ ∫[0→r] ρ^5dρ
=(1/4)∫[0→2π] sin²2θ dθ×(1/6)ρ^6 |[0→r]
=(1/24)r^6∫[0→2π] sin²2θ dθ
=(1/48)r^6∫[0→2π] (1-cos4θ) dθ
=(1/48)r^6[θ - (1/4)sin4θ] |[0→2π]
=(1/24)πr^6
最后两个积分相减得:
原式=0-(1/24)πr^6=-(1/24)πr^6
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所以原积分=∫∫∫(5x^4+6y^5+7z^6)dV
=∫∫∫(5x^4+6x^5+7x^6)dV
=1x1x∫(0->1) (5x^4+6x^5+7x^6)dx
=31年前查看全部
- 做积分曲面题时,什么时候用高斯公式,什么时候用斯托克斯公式,什么时候用两类积分之间的关系?
阔海豚1年前1
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yingying822 共回答了21个问题
|采纳率100%一般来说计算重积分要比计算曲面积分容易,因此对坐标的曲面积分,如果积分曲面是闭合曲面或比较容易通过添加其他曲面后构成闭合曲面(添加的曲面要求在其上的积分容易计算),一般用高斯公式.三维空间的对坐标的曲线积分不如曲面积分好计算,因此用斯托克斯公式将闭曲线的曲线积分变为曲面积分.1年前查看全部
- 二重积分,可能要用格林公式或者高斯公式
二重积分,可能要用格林公式或者高斯公式
设f(x,y)在x²+y²≤1的圆域二阶可微,∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²=e^(-x²-y²),求二重积分∫∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)dxdy,积分区域为该单位圆andygulv1年前2
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抽风0095 共回答了18个问题
|采纳率88.9%(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)几何意义,是位置向量(x,y)与梯度(∂f/∂x, ∂f/∂y)这两个向量的内积.
∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²是laplace算符,看起来奇怪,还有个名字更加奇怪了,其实就是梯度的梯度,梯度就是增长最快的方向,其实就是个向量,不要想复杂了,那就窘了.
∫∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)dxdy其实就是求和,有多少个东西要被加起来?有一个单位圆面那么多的元素啊.那我就一个圆,一个圆加,从半径是1的一直到半径是0的可以吧.
对于半径为r的小圆周,(x,y)向量与圆周垂直,所以∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)本质就是∫,沿着半径r的圆周积分.表示两个向量的内积,一个是法向量n=(x,y),另一个是梯度向量F=(∂f/∂x,∂f/∂y)
由gauss散度定理,对于任何向量函数G,∫=∫∫梯度算符内积作用在G,而梯度作用两次的结果恰好是laplace算符,所以∫=∫∫(∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²)dxdy=∫∫e^(-x²-y²)dxdy,然后对每个半径r的小圆周,你把所有的结果加起来,就是∫∫∫re^(-x²-y²)dxdydr,就是∫∫∫re^(-r²)drdxdy,就是∫∫ [∫re^(-r²)dr] dxdy, 其中[∫re^(-r²)dr]=[(1/2)∫e^(-r²)(dr²)]=(1/2)[∫e^(-t)dt](从0到1)=1/2e,然后∫∫ (1/e) dxdy= 3.14/2e1年前查看全部
- 不用高斯公式直接计算.
云极1年前1
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roshingjun 共回答了17个问题
|采纳率82.4%直接计算如下:
Ι=∫∫(∑1上)+∫∫(∑2上)+∫∫(∑3上)
其中∑1:y=1,下侧(化为二重积分时有负号)
∑2:y=2,上侧
∑3:y=z^2+x^2,下侧(化为二重积分时有负号)
先求∫∫(∑1上):
解y=z^2+x^2与y=1得z^2+x^2=1,得∑1在xoz面的投影为D1:z^2+x^2≤1,在极坐标下D1:0≤Θ≤2Π,0≤r≤1,
于是∫∫(∑1上)=(曲线积分代入y=1)∫∫(∑1上)e/√(z^2+x^2)dxdz
=(化为二重积分)-∫∫(D1上)e/√(z^2+x^2)dxdz
=(化为极坐标下定积分)-∫(0到2Π)dΘ∫(0到1)er/rdr=(积出)-2Πe.
同理求∫∫(∑2上):
解y=z^2+x^2与y=2得z^2+x^2=2,得∑2在xoz面的投影为D2:z^2+x^2≤2,在极坐标下D2:0≤Θ≤2Π,0≤r≤√2,
于是∫∫(∑2上)=(曲线积分代入y=2)∫∫(∑2上)e^√2/√(z^2+x^2)dxdz
=(化为二重积分)∫∫(D2上)e^√2/√(z^2+x^2)dxdz
=(化为极坐标下定积分)∫(0到2Π)dΘ∫(1到2)re^√2/rdr=(积出)2√2Πe^√2.
再求∫∫(∑3上):
解y=z^2+x^2,y=1与y=2得z^2+x^2=1及z^2+x^2=2,得∑3在xoz面的投影为D3:1≤z^2+x^2≤2,在极坐标下D3:0≤Θ≤2Π,1≤r≤√2,
于是∫∫(∑3上)=(曲线积分代入y=z^2+x^2)∫∫(∑3上)e^√(z^2+x^2)/√(z^2+x^2)dxdz
=(化为二重积分)-∫∫(D3上)e^√(z^2+x^2)/√(z^2+x^2)dxdz
=(化为极坐标下定积分)-∫(0到2Π)dΘ∫(1到√2)re^r/rdr=(积出)-2Π(e^√2- e).
故原式I=∫∫(∑1上)+∫∫(∑2上)+∫∫(∑3上)
= -2Πe+2√2Πe^√2-2Π(e^√2- e)=2Πe^√2(√2-1).1年前查看全部
- 高斯公式,斯托克斯公式,格林公式,有什么联系啊
magnolia12111年前2
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jsy0yy 共回答了27个问题
|采纳率85.2%格林公式表达了平面闭区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间比区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
其实格林公式就是二重积分与曲线积分之间的转换,而高斯公式就是三重积分与曲面积分的转换;
而斯托克公式是格林公式的推广,把曲面积分与沿曲面边界的曲线积分联系起来.注意斯托克公式中,若边界L在xoy面上,则有dz=0.即得到了格林公式.
因为最近在准备考试,时间有点紧张,所以说的不是很详细,不知能不能明白.如果不行的话, 等明天或后天我会列出公式给你详细的补充.1年前查看全部
- 怎么利用格林公式和高斯公式以及函数1/sqrt(x^2+y^2+z^2)证明
怎么利用格林公式和高斯公式以及函数1/sqrt(x^2+y^2+z^2)证明
1/R^3*(u在B(O,R)上积分)>=1/r^3*(u在B(O,r)上积分),其中r=0liaya8111201年前1
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yuyang3028 共回答了15个问题
|采纳率93.3%不会呀?1年前查看全部
- 高斯公式.我想问一下..为什么曲面没有上侧或下侧就是不封闭...这里的封闭是什么一个概念...
精灵鬼怪1年前3
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骂人被封号 共回答了19个问题
|采纳率84.2%封闭就是没有空隙,就像是一个立体不缺任何侧壁盖子之类的面;
比如z=x^2+y^2这个曲面就是不封闭的,但要是加上了z=1这个曲面(相当于一个盖子)就构成了闭合曲面1年前查看全部
- 关于高斯公式大学高等数学曲线积分与曲面积分一章.高斯公式用来计算边界曲面的外侧积分.我想知道:如果计算边界曲面的内侧积分
关于高斯公式
大学高等数学曲线积分与曲面积分一章.高斯公式用来计算边界曲面的外侧积分.我想知道:如果计算边界曲面的内侧积分的话,是否是在高斯公式加个负号就可以.如果不可以,那要怎样计算?amadbee1年前3
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桃红色的鸵鸟 共回答了21个问题
|采纳率85.7%对!就是这样
就是加个符号就可以了1年前查看全部
- 三重积分 高斯公式 如图所示高斯公式做的结果是?我做出来是π*π-2πr,总觉不对.
三重积分 高斯公式 如图所示
高斯公式做的结果是?我做出来是π*π-2πr,总觉不对.sut3211年前1
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洞庭潇潇不知人间 共回答了16个问题
|采纳率75%补面S:z = 0下侧
∫∫(Σ+S) xydydz + xdzdx + x²dxdy
= ∫∫∫Ω (y + 0 + 0) dV
= 0
∫∫S xydydz + xdzdx + x²dxdy
= - ∫∫D x² dxdy、1年前查看全部
- 高斯公式题目设Σ是锥面z=√x^2=y^2,(0
_猪哥哥_1年前1
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zniiyp 共回答了18个问题
|采纳率77.8%添加曲面[Σ2]:z=√x^2+y^2,z=1将曲面补成闭合曲面(法向量向内)
∫∫[Σ]+[Σ2] Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂zdxdydz
P=1,Q=2,R=3,∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z=0
∫∫[Σ] dydz+2dzdx+3dxdy=0-∫∫[Σ2] dydz+2dzdx+3dxdy=-∫∫[Σ2] 3dxdy
=-3*(曲面Σ2的面积)=-3π1年前查看全部
- 高数积分计算求曲面积分,格林公式,高斯公式之间的关联,有点小混乱~
yimeng02021年前1
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bluesea_6199 共回答了21个问题
|采纳率95.2%格林公式是高斯公式的二维版
格林和高斯都可用来求曲面积分
但是都要求是单连通区域
格林用在二维,高斯是2,3维甚至n维
格林是把闭曲线积分和二重积分联系在了一起
高斯则是把曲面积分和三重积分联系在了一起(n维类似)1年前查看全部
- 利用高斯公式求解第二类曲面积分的题目,
利用高斯公式求解第二类曲面积分的题目,
被积项是(2xydydz+yzdzdx-z^2dxdy),S是由锥面z=(x^2+y^2)的二分之一次方 与半球面z=(2-x^2-y^2)的二分之一次方 所围成的区域边界曲面的外侧.卡通公主1年前1
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jill1229 共回答了20个问题
|采纳率95%用一次高斯公式后剩下的项为对2y+3z的三重积分积分区域为为上述面包围的体积,有对称性对2y的积分为零,只对3z积分,用球坐标代换,角参数为0到二派,负四分之派到四分之派,r=根号2,算得结果为零1年前查看全部
- 利用高斯公式计算,其中S是上半球面与圆锥面所围立体表面的外侧.
fish-kitty1年前1
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onlyrainy 共回答了16个问题
|采纳率100%取下侧面,才能用高斯公式原式=∫∫∫(1+1+1)dxdydz=3∫∫∫dxdydz=【3×(4/3)(πR^3)】/2=2πR^3 (这里就是计算半个球的体积)1年前查看全部
- 数学上的高斯公式跟物理上的高斯定律哪个在先?
数学上的高斯公式跟物理上的高斯定律哪个在先?
是物理学先发现了高斯定律 然后抽象出了高斯公式 还是数学上早就有了高斯公式然后用在物理学上就发现高斯定律.久违了的心跳感觉1年前1
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恋浩彬 共回答了18个问题
|采纳率100%数学上的高斯公式(Gauss's theorem)于1762年首先被拉格朗日发现,而在1813年高斯又一次独立发现这个公式,于1826年被证明.而物理上的高斯定律(Gauss's law)于1835年由高斯给出,但是直到1867年才公布.1年前查看全部
- 高斯公式正负号的问题我看到有人说闭合曲面外侧为正,内侧为负!非闭合曲面上外正,下外负,右为正,左为负,前为正,后为负!
rain_yu1年前0
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- 求教一道高数有关高斯公式的问题∫∫S 2*(1-x^2)dydz+8xydzdx-4xzdxdy,其中S是xOy面上曲线
求教一道高数有关高斯公式的问题
∫∫S 2*(1-x^2)dydz+8xydzdx-4xzdxdy,其中S是xOy面上曲线x=e^y(0≤y≤a)绕x轴旋转所成的旋转曲面的凸的一侧yellowkey1年前0
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