用柯西不等式证明一道题目!2/a+b + 2/b+c + 2/c+a>9/a+b+c要详细的用柯西不等式证明

ss0010012022-10-04 11:39:543条回答

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神经兔 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%
[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>=[(a+b)*1/(a+b)+(b+c)*1/(b+c)+(c+a)*1/(c+a)]^2=3^2=9
所以2(a+b+c)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>=9
所以2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>=9/(a+b+c)
1年前
wxf2006 共回答了4435个问题 | 采纳率
证明:
2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]
=[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]
>=3[(a+b)(b+c)(c+a)]^(1/3){[1/(a+b)][1/(b+c)][1/(c+a)]}^ (1/3)=9
两边同除(a+b+c)
得到 2/(a+b) +2/(b+c )+ 2/(c+a )≥9/(a+b+c)
1年前
执棋 共回答了10个问题 | 采纳率
[2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a)][(a+b)+(b+c)+(c+a)]≥(3√2)^2=18
移项即得2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a)≥9/(a+b+c)
1年前

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(at1+bt2)(bt1+at2)
=(at1+bt2)(at2+bt1)
>=[a*根号(t1t2) b*根号(t1t2)]^2
=[(a+b)(根号t1t2)]^2
=t1t2
当且仅当a=b
即 a=b=1/2时该不等式取“=”
楼主手机打字很辛苦啊
柯西不等式.已知2X+5Y=20,求XY的最大值
zsybq1年前4
huanghua98 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%
其实上,这中题目是有定理的(总共有3个):
1.ax+by=c(a,b≠0).如果a,b有公约数d,而c也有公约数d,这个方程有整数解;如果a,b有公约数d,而c没有公约数d,则这个方程没有整数解.
(这个方程2X+5Y=20,就属于第一种情况:有整数解)
2.若{x=x0,y=y0(这里x0和y0都是一个有理数)是方程ax+by=c(ab互质)的一组整数解,则此方程的所有整数解为:
{x=x0-bt,y=y0+at(t为整数)
3.如果ax+by=c,a>0,b>0,c>0,而a+b>c,则此方程无解.
这就是3个定理,我们可以从2中得到答案.
先假设x的值为5,则y=2
把这个解带进那个式子:“{x=x0-bt,y=y0+at(t为整数)”中,可以得到一些
x=5-5t,y=2+2t
当t=1时,
x=0,y=4(这是一组新的解)
上面的解为:x=5,y=2
因此,xy的最大值为20
柯西不等式用数学符号表示是什么?
lanxi12301年前3
翡翠飘飘烟雨 共回答了12个问题 | 采纳率75%
(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2当ad=bc时取等号 可以推广到(a1^2+a2^2+.......+an^2)(b1^2+b2^2+.......+bn^2)>=(a1b1+a2b2+......anbn)^2 当a1/b1=a2/b2=......=an/bn时取等号
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a与b都向量,柯西不等式的向量形式是|a·b|≤|a||b|
高中如何掌握好柯西不等式,有什么好方法没?
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有木有啊
小概率的霓霓兔1年前1
wzwailzm 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
设f(x)=(a1x-b1)²+(a2x-b2)²+(a3x-b3)²+.+(anx-bn)²
=(a1²+a2²+.+an²)-2(a1b1+a2b2+.+anbn)x+(b1²+.+bn²)

△≤0
即证
望采纳!
柯西不等式练习题已知2x²+3y²≤6,求证:x+2y≤√11
shihujie1年前1
木柔子 共回答了18个问题 | 采纳率83.3%
分析:利用柯西不等式.注意要整体代入.
证明:(x+2y)²≤(2x²+3y²)(1/2+4/3)≤6×(1/2+4/3)=3+8=11
∴x+2y≤√11
这是最简单的方法.
还可以用以下方法
1.几何法.将符合已知条件的(x,y)作为平面直角坐标系上的点,则它表示一个椭圆及其围成的
区域.待证式表示一族直线.于是问题化为直线与椭圆相切问题,求导或判别式解决.
2.换元成三角函数.其实就是椭圆的参数方程.
3.由已知,将y表示成x的函数,代入待证式中,利用函数知识解决
柯西不等式积分形式的几何意义是什么
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雪晴8789 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%
[∫(f(x)g(x))dx]^2≤(∫[f(x)]^2dx)*(∫[g(x)]^2dx)
在高年级学了赋范空间,前面表示∫(f(x)g(x))dx表示f(x)与g(x)的内积
∫[f(x)]^2dx ∫[g(x)]^2dx表示f(x)和g(x)的范数(相当于长度)的平方.
这类似于向量
(a,b)^2≤|a|^2|b|^2
关于二维形式的柯西不等式【高二】
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怎样得到二维形式的柯西不等式?它的几何意义?向量形式?三角形式?急用,
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yongbodeai 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%
(1)二维形式
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件:ad=bc
(2)三角形式
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2] 等号成立条件:ad=bc 注:“√”表示平方根,
(3)向量形式
|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2) 等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R).
(4)二维形式的证明
(a^2+b^2)(c^2+d^2) (a,b,c,d∈R) =a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2 =a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2 =(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 ≥(ac+bd)^2,等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立.
(5)二维形式几何意义
你百度一下,百度文库里有
有图,我用柯西不等式得出左边a∧2=b∧2,或a∧2+b∧2=1,应该是右边推出左边啊,但答案是A,帮忙分析下,
绵竹皮蛋1年前1
轩客 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
114题
求函数最值y=根号(x+27)+根号(13-x)-根号(x)请使用均值不等式或柯西不等式,不用导数求法
wojiaoblp1年前4
yanyemokey 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%
原式=√(27+x)+√{13+2√[x(13-x)]}(a+b≥2√ab)
》√27+√13
当x=0时 取等号.此为最小值y=√27+√13.
求最大值用柯西不等式
y²=(√(x+27)+√(13-x)+√x)²
≤(1+1/3+1/2)[(x+27)+3(13-x)+2x)]=121
y≤11,当x=9时,最大值y=11.
柯西不等式正实数x+y+z=1,
柯西不等式正实数x+y+z=1,
求证x的4次幂/﹙2+y²-z﹚+y的4次幂/﹙2+z²-x﹚+z的4次幂/﹙2+x²-y﹚≥1/48在线等重谢
ttff1年前1
夜的黑天的蓝 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%
利用柯西不等式
[X^4/(2+y^2-z) +y^4/(2+z^2-x) +z^4/(2+x^2-y)] (2+y^2-z +2+z^2-x +2+x^2-y)>=(x^2+y^2+z^2) 显然x=y=z时等号成立
由于x+y+z=1,带入第二个括号(2+y^2-z +2+z^2-x +2+x^2-y),得
[X^4/(2+y^2-z) +y^4/(2+z^2-x) +z^4/(2+x^2-y)] (5+x^2+y^2+z^2)>=(x^2+y^2+z^2)
整理上述不等式可得:
[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]
>=(x^2+y^2+z^2)/(5+x^2+y^2+z^2)=1--5/(5+x^2+y^2+z^2)
即[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]>=1--5/(5+x^2+y^2+z^2)
再由柯西不等式可得(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)>=(x+y+z)^2暨(x^2+y^2+z^2)>=1/3
等号成立当且仅当x=y=z
再把(x^2+y^2+z^2)>=1/3带入此式:[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]>=1--5/(5+x^2+y^2+z^2)可得该式>=1/48
两个大于等于号的成立条件都是x=y=z,故而这个连续不等式是可以的.
所以[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]>=1/48
15题a,不用柯西不等式,要是用几何意义能做不?
jinfen12341年前0
共回答了个问题 | 采纳率
可以用高中数学解释一下柯西不等式吗?
chairtie1年前1
hbvftdx 共回答了14个问题 | 采纳率100%
可以啊,很容易.
柯西不等式可以简单地记做:平方和的积 ≥ 积的和的平方.它是对两列数不等式.取等号的条件是两列数对应成比例.
如:两列数
0,1

2,3

(0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.
形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数,这个辅助函数是二次函数,于是用二次函数取值条件就得到Cauchy不等式.
还有一种形式比较麻烦的,但确实很容易想到的证法,就是完全把Cauchy不等式右边-左边的式子展开,化成一组平方和的形式.
我这里只给出前一种证法.
Cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai,bi,则有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令
f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有
Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
学了更多的数学以后就知道,这个不等式可以推广到一般的内积空间中,那时证明的书写会更简洁一些.我们现在的证明只是其中的一个特例罢了.
3道 柯西不等式 和 平均不等式 的
3道 柯西不等式 和 平均不等式 的
1 解不等式组:y^2-2ax0 注意a>0 (写下主要过程就行,结果可能不太好打上来)
2 若有:(x/y^2+z^2)+(y/x^2+z^2)+(z/y^2+x^2)>=k/根号(x^2+y^2+z^2)
求k的最大值 (最大是(根号27)/2,咋来的?)
33 求证:x^2/y^2+z^2+yz)+(y^2/x^2+z^2+xz)+(z^2/y^2+x^2+xy) >=1 (没思路...)
宝贝累了1年前4
chen020822 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%
1.数形结合.
y^2-2ax0 ,圆外面.
注意到圆和抛物线“相切”(其实只用说明只有一个交点即可.)
所以答案为:抛物线出去圆.(注意下边界不要出错)
2.即考虑[x/y^2+z^2)+(y/x^2+z^2)+(z/y^2+x^2])*根号(x^2+y^2+z^2)
的最小值.
由于是齐次式,不妨假设x^2+y^2+z^2=1
于是成为:在条件x^2+y^2+z^2=1 下,求 [x/(1-x^2)+ y/(1-y^2)+ z/(1-z^2)]的最小值.这是很熟悉的:
注意到 x(1-x^2)在区间(0,1)上的最大值在 根号(3)/3 处取到:
2*〔x(1-x^2)〕^2=(2x^2)(1-x^2)(1-x^2)= 3倍根号(3)/2 * x^2
同理易得其他.最后由x^2+y^2+z^2=1 得出答案:3倍根号(3)/2
3.很常规的思想:利用xy=2/3 *[x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)]
考虑x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)的最小值:
后面是老题:由于其次式,不妨假设x^2+y^2+z^2=1.
于是上式=1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)-3
注意到[1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)][(y^2 + z^2)+(x^2 + z^2)+ (y^2 + x^2)]>=9 (这就是你所谓的柯西不等式)
于是1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)>= 9/2
于是得到x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)>=3/2
最后得到题目中式子>=1
等号在x=y=z时取到
若a²+b²=m ,x²+y²=n .求ax+by最大值 用柯西不等式(ax+b
若a²+b²=m ,x²+y²=n .求ax+by最大值 用柯西不等式(ax+by)²≤(a²+b&sup2
意思是用柯西不等式和均值不等式做出来不一样 那个正确
依天听海1年前3
cyber06 共回答了26个问题 | 采纳率88.5%
设所有均为正数
ax+by≤√(mn),当x/a=y/b=k时取得
令a=b=√(2n)/2,则x=y=√(2m)/2时取得
而均值不等式ax+by≤(a²+x²)/2+(b²+y²)/2=(a²+b²)/2+(x²+y²)/2=(m+n)/2
要取得等号,必须a=x.b=y,进而推出,m=n
所以此问题,只有当m=n时,均值和柯西均可,此时√(mn=(m+n)/2
当m≠n时,均值不等式的等号条件无法取得,故柯西不等式做出来正确
柯西不等式和琴生不等式分别是什么?
com__jp1年前1
扛着ll吃辣椒 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的. 柯西不等式的一般证法有以下几种: ■①Cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai, bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论.
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上式中2是平方,字体不好改,见谅
[(7-x2)+(x2+1)](1+1)>={根号(7-x²) + 根号(x²+1)}2
故 根号(7-x²) + 根号(x²+1)
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三维形式柯西不等式
1.把一根长为12米的细绳截成三段,各围成三个正方形,问:怎样截法,才能使围成的三个正方形面积之和S最小,并求此最小值。 2.已知:A1,A2,...AN是平面凸N边形的内角的弧度数,求证:1/A1+1/A2+.....+1/AN>=N^2/(N-2)*π。
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若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,用柯西不等式证明:a+b+c≥根号3
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a²+b²≥2ab,b²+c²≥2bc,a²+c²≥2ac
a²+b²+b²+c²+a²+c²≥2ab+2bc+2ac
a²+b²+c²≥ab+bc+ac
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≥3(ab+bc+ac)=3
a+b+c≥√3
柯西不等式的向量证明方法
丑陋的小aa1年前1
lovingjj 共回答了22个问题 | 采纳率86.4%
用向量来证.
m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)
mn=a1b1+a2b2+.+anbn=(a1^+a2^+.+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.+bn^)^1/2乘以cosX.
因为cosX小于等于1,所以:a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^+a2^+.+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.+bn^)^1/2
这就证明了不等式.
应用柯西不等式证明1.已知4x^2+9y^2=36,求x+2y的最大值.2.已知3x+2y=6,求x^2+y^2的最小值
应用柯西不等式证明
1.已知4x^2+9y^2=36,求x+2y的最大值.
2.已知3x+2y=6,求x^2+y^2的最小值.
3.已知3x+2y=6,求x^2+2y^2的最小值.
4.求函数y=5√(x-1)+√(10-2x)的最大值.
拜谢.
是男时悲1年前1
gzllshy 共回答了23个问题 | 采纳率100%
柯西不等式:
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
1.
((1/2)^2+(2/3)^2)((2x)^2+(3y)^2)≥(1/2*2x+2/3*3y)^2
(1/4+4/9)*36≥(x+2y)^2
(x+2y)^2≤9+16=25
x+2y≤5
当1/2/(2x)=2/3/(3y)即8x=9y即x=9/5,y=8/5时等号成立
所以x+2y的最大值为5
2.
(3^2+2^2)(x^2+y^2)≥(3x+2y)^2
(9+4)(x^2+y^2)≥36
x^2+y^2≥36/13
当3/x=2/y即x=18/13,y=12/13时等号成立
所以x^2+y^2的最小值为36/13
3.
(3^2+(√2)^2)(x^2+(√2*y)^2)≥(3x+2y)^2
(9+2)(x^2+2y^2)≥36
x^2+2y^2≥36/11
当3/x=√2/(√2*y)即x=18/11,y=6/11时等号成立
所以x^2+2y^2的最小值为36/11
4.
设a=√(x-1),b=√(10-2x)
则2a^2+b^2=2x-2+10-2x=8
y=5a+b
((5√2/2)^2+1^2)((√2a)^2+b^2≥(5a+b)^2
(25/2+1)*8≥(5a+b)^2
(5a+b)^2≤100+8=108
5a+b≤6√3
y≤6√3
当5√2/2/(√2a)=1/b即2a=5b即2√(x-1)=5√(10-2x)即x=127/27时等号成立
所以y=5√(x-1)+√(10-2x)的最大值为6√3
a,b,c都为正数,若a+b+c=1,求证a^2+b^2+c^2大于等于1/3.要求不用柯西不等式,只用基本不等式.
雷公天下1年前2
小蚂蚁002 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%
这道题我只用基本不等式,不用柯西不等式,照样证明如下:
a+b+c=1
两边平方得:
(a+b+c)²=1
a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1 (1)
根据基本不等式:
a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
a²+c²≥2ac
相加得:
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ac)
a²+b²+c²≥ab+bc+ac代入(1)式得:
a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≥3(ab+ac+bc)
即:ab+ac+bc≤1/3
a²+b²+c²=1-2(ab+ac+bc)≥1-2•(1/3)=1/3
即证:a²+b²+c²≥1/3
a+b+c大于等于什么?我记得是柯西不等式的推广,但忘了
a+b+c大于等于什么?我记得是柯西不等式的推广,但忘了
错了,是平均不等式
czf07541年前1
-晴-朗- 共回答了27个问题 | 采纳率92.6%
a+b+c>=3开立方根abc
求柯西不等式练习题越多越好,最好有详细的解答
xo319261年前1
xuzhuoqiao_888 共回答了27个问题 | 采纳率81.5%
1.已知a>b>c>d 求证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥9/(a-d)
2.已知a,b,c>0且满足a+b+c=1 求证a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)/3
3.若a,b,c>0,证明a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1
只需证明 (a-d) [1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)] >= 9
[1/(a-b) +1/(b-c) +1/(c-d)](a-d)
=[1/(a-b) +1/(b-c) +1/(c-d)](a-b+b-c+c-d)
= [1 + (b-c)/(a-b) + (c-d)/(a-b)] + [1 + (a-b)/(b-c) + (c-d)/(b-c)] + [1 + [(a-b)/(c-d) + (b-c)/(a-d)]
= 3 + [(b-c)/(a-b) + (a-b)/(b-c)] + [(c-d)/(a-b) + (a-b)/(c-d)] + [(c-d)/(b-c) + (b-c)/(c-d)]
≥ 3 + 2 + 2 + 2
= 9
所以 :1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)>=9/(a-d)
3.若a,b,c>0,证明a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1
利用Cauchy-Schwarz不等式做
[a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)]*(3ab+3bc+3ac)
= [a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)]*[a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b)]
≥(a+b+c)^2
a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥(a+b+c)^2/(3ab+3bc+3ac)
因为 (a+b+c)^2 ≥ 3ab+3bc+3ac 所以
a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1,等号当且仅当 a=b=c时成立
请用数学归纳法证明一般形式的柯西不等式
无言小刀1年前1
半夜散粉一百人 共回答了20个问题 | 采纳率95%
柯西不等式形式为:
(a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=an/bn时等号成立
设n=k时该不等式成立,则有
(a12+a22+a32+…+ak2)(b12+b22+b32+…+bk2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)2
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=ak/bk时等号成立
则当n=k+1时,不等式应为:
(a12+a22+a32+…+ak+12)(b12+b22+b32+…+bk+12)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+ak+1bk+1)2
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=ak+1/bk+1时等号成立
此不等式即:
[(a12+a22+a32+…+ak2)+ak+12][(b12+b22+b32+…+bk2)+bk+12]≥[(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)+ak+1bk+1]2
(a12+a22+a32+…+ak2)(b12+b22+b32+…+bk2)
+ak+12(b12+b22+b32+…+bk2)+bk+12(a12+a22+a32+…+ak2)
+ak+12bk+12≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)2+ak+12bk+12+2ak+1bk+1(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)
因为已有
(a12+a22+a32+…+ak+12)(b12+b22+b32+…+bk+12)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+ak+1bk+1)2
所以只须证
ak+12(b12+b22+b32+…+bk2)+bk+12(a12+a22+a32+…+ak2)+ak+12bk+12≥ak+12bk+12+2ak+1bk+1(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)

ak+12(b12+b22+b32+…+bk2)+bk+12(a12+a22+a32+…+ak2)≥2ak+1bk+1(a1b1+a2b2+a3b3+…+akbk)
ak+12b12+ak+12b22+ak+12b32+…+ak+12bk2
+bk+12a12+bk+12a22+bk+12a32+…+bk+12ak2≥2ak+1bk+1a1b1+2ak+1bk+1a2b2+2ak+1bk+1a3b3+…+2ak+1bk+1akbk
ak+12b12+bk+12a12+ak+12b22+bk+12a22+ak+12b32+bk+12a32+…+ak+12bk2+bk+12ak2
≥2(ak+1b1)(bk+1a1)+2(ak+1b2)(bk+1a2)+2(ak+1b3)(bk+1a3)+…+2(ak+1bk)(bk+1ak)
ak+12b12+bk+12a12+ak+12b22+bk+12a22+ak+12b32+bk+12a32+…+ak+12bk2+bk+12ak2
-2(ak+1b1)(bk+1a1)-2(ak+1b2)(bk+1a2)-2(ak+1b3)(bk+1a3)-…-2(ak+1bk)(bk+1ak)≥0
[ak+12b12-2(ak+1b1)(bk+1a1)+bk+12a12]+[ak+12b22-2(ak+1b2)(bk+1a2)+bk+12a22]+…+[ak+12bk2-2(ak+1bk)(bk+1ak)+bk+12ak2]≥0
(ak+1b1-bk+1a1)2+(ak+1b2-bk+1a2)2+…+(ak+1bk-bk+1ak)2≥0
显然,若干实数的平方和一定为非复数
若等号成立,则
ak+1b1-bk+1a1=0
ak+1b2-bk+1a2=0
……
ak+1bk-bk+1ak=0
得a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=ak+1/bk+1
所以,若柯西不等式在n=k时成立,在n=k+1时也成立
若n=1,则不等式变为
a12b12≥(a1b1)2
显然成立,所以对于n取的一切正整数,柯西不等式都成立
证明完毕,得:
柯西不等式
(a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3=…=an/bn时等号成立
如何用柯西不等式证明这道数学题目?
tj-透明心情1年前1
汉化世胄 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
先证明恒等式
1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)=1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)-1/(2n)
实际容易证明,你可用数学归纳法!也可以
令H(n)=1+1/2+1/3+…+1/n
F(n)=1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)-1/(2n)
则H(2n)-F(n)=1+1/2+1/3+…+1/n=H(n)
F(n)=H(2n)-H(n),等式得证!
现在以1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)代替原来中间部分
左边容易证明,因为F(n)单调递增,F(n)≥F(2)=1/3+1/4=7/12>4/7
对于右边,可以用柯西不等式
速求高中数学柯西不等式证明过程!
celinefr1年前1
jacky58 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
(一)先来个小的.关于x的一元二次方程(a^2+b^2)x^2-2(ac+bd)x+(c^2+d^2)=0.可化为(ax-c)^2+(bx-d)^2=0.故△≤0.即(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2.(二)再来个大的,关于x的一元二次方程(a1^2+a2^2+...+an^2)x^2-2(a1b1+a2b2+...+anbn)x+(b1^2+b2^2+...+bn^2)=0.可化为(a1x-b1)^2+...+(anx-bn)^2=0.===>判别式为非正,故之.
一道柯西不等式的题目锐角三角形ABC中,a
zoubin66001年前1
湖北人在ll2 共回答了11个问题 | 采纳率90.9%
我没用柯西不等式
用的余弦定理
q>p
柯西不等式的几种证明方法
玉中石1年前1
新通通讯 共回答了26个问题 | 采纳率92.3%
摘要: 如果某一知识跟很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系,那么这个知识肯定是很重要的,而二次型、欧式空间内积、詹森不等式都是高等数学中代数、实函、微积分的基本内容.本文运用二次型理论、欧式空间中内积性质和詹森(Jensen)不等式三种方法证明柯西不等式,并简要说明柯西不等式与高等数学之间的联系.(剩余2063字)
a+b+c=600,a,b,c均大于等于0,求a^2+b^2+c^2的最大值.求用柯西不等式求解?
baitiandeai1年前2
非刘不王 共回答了28个问题 | 采纳率92.9%
由函数f(x)=x^2图像可证得对于任意:
a,b>=0;a+b恒定,f(a)+f(b)
实数m,n,x,y满足m平方+n平方=a,x平方+y平方=b那么mx+ny的最大值是多少?用重要不等式还是柯西不等式
实数m,n,x,y满足m平方+n平方=a,x平方+y平方=b那么mx+ny的最大值是多少?用重要不等式还是柯西不等式
实数m,n,x,y满足m平方+n平方=a,x平方+y平方=b(a不等于b),那么mx+ny的最大值是多少?(与a,b的大小关系有关吗?用重要不等式还是柯西不等式?))
用两种不等式得出的结果不同
我看A片只为艺术1年前4
kngkj 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
用柯西不等式
因为(mx+ny)2
帮忙讲下柯西不等式
gehjrjh1年前1
唐尸 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
二维形式
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件:ad=bc
扩展:(a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+b3^2+...bn^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2 等号成立条件:a1:a2:...:an=b1:b2...:bn
三角形式
√(a+b)+√(c+d)≥√[(a-c)+(b-d)]
等号成立条件:ad=bc (注:“√”表示平方根,)
向量形式 |α||β|≥|α·β|,α=(a1,a,…,an),β=(b1,b,…,bn)(n∈N,n≥2)
等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R).
ab-4a-b+1=0(a>1),则(a+1)(b+2)的最小值为_________ (请问可不可以用柯西不等式做啊)~
bbkf19851年前1
gghreqwe87 共回答了18个问题 | 采纳率77.8%
可以用Cauchy不等式.
首先条件ab-4a-b-1 = 0可变为(a-1)(b-4) = 5,且由a-1 > 0可得b-4 > 0.
于是由Cauchy不等式,(a+1)(b+2) = ((a-1)+2)((b-4)+6) ≥ (√((a-1)(b-4))+√(2·6))²
= (√5+2√3)² = 17+4√15.
又可知当a = 1+√(5/3),b = 4+√15时等号成立 (由取等时应有b-4 = 3(a-1)代回条件解得).
即(a+1)(b+2)的最小值就是17+4√15.
a>0 b>0 a+b=1请用柯西不等式证明 (a+1/a)∧2 +(b+1/b)∧2
a>0 b>0 a+b=1请用柯西不等式证明 (a+1/a)∧2 +(b+1/b)∧2
大于等于25/2 打掉了 不好意思哦
爱上丁字裤1年前1
shihan163 共回答了20个问题 | 采纳率90%
用柯西不等式:2(a²+b²) = (a²+b²)+(a²+b²) ≥ (a+b)² = 1 ,所以 a²+b² ≥ 1/2 ;
(a+b)² = a²+b²+2ab ≥ 2ab+2ab = 4ab ,
所以,1/ 4 ≥ ab 即1/ ab ≥4
(a+1/a)²= a²+1/a²+2 (b+1/b)²=b²+1/b²+2
所以,原式= a²+b²+1/a²+1/b²+4
= (a²+b²)+(a²+b²)/(ab)²+4
≥ 1/2+(1/2)*4²+4 = 25/2
一道不等式的证明,老师打我错,可是我还是觉得我是对的 是用柯西不等式的证明问题.
一道不等式的证明,老师打我错,可是我还是觉得我是对的 是用柯西不等式的证明问题.
已知a>0 b>0 c>0 abc=1
求证:1/[a²(b+c)] +1/[b²(a+c)]+1/[c²(a+b)]≥3/2
我是这么证明的 为了方便打字我把左边三项分别定为 m n 0
由左边三项联想均值不等式可得:m+n+o≥3*三次方根1/(m*n*o)
再在右边分母化简,可得a*(b²+c²)+b*(a²+c²)+c*(a²+b²)+2
再由均值不等式得a*(b²+c²)≥2abc=2 同理其他两项也是≥2abc=2
∴原式≥3/2
当且仅当.时取等号.
这里比较复杂,懒得打字了.我觉得我是对的.可是试卷发下来时老师给了我一个叉- 我怀疑我是对的.老师说用柯西不等式也能证.能不能告诉我哪里错了.
lessonyj1年前1
我是你的皮带 共回答了23个问题 | 采纳率95.7%
再由均值不等式得a*(b²+c²)≥2abc=2 同理其他两项也是≥2abc=2
你这一步得到的是分母≥8,那么整个右边应该≤3/2,哈哈,不等号反向了,错就错在了这里
均值不等式你没用错,只是你打错了,应该是m+n+o≥3³√mno,对吧
顺便说一下,你怎么不自己问老师呢,学习要主动嘛
最后祝楼主新年快乐,记得采纳^_^
柯西不等式证明!老师上课的时候讲的一个问题:等式(a+b)(1/a+n/b),其中n为整数,不管n取多少,用柯西不等式都
柯西不等式证明!
老师上课的时候讲的一个问题:等式(a+b)(1/a+n/b),其中n为整数,不管n取多少,用柯西不等式都求得最小值为4,很费解,求高人解释!
qintao54681591年前1
青青春草 共回答了21个问题 | 采纳率100%
柯西不等式
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
等号成立条件:ad=bc
证明
(a^2+b^2)(c^2+d^2) (a,b,c,d∈R)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
≥(ac+bd)^2,等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立.
根据你题目意思,a、b≥0,为正整数
原式=(√a^2+√b^2)(1/√a^2+√n^2/√b^2)
≥(1+√n)^2
n=1时,原式有最小值4
用柯西不等式证明:已知a、b>0求证 b/a²+a/b²≥1/a+1/b
用柯西不等式证明:已知a、b>0求证 b/a²+a/b²≥1/a+1/b
liushe1191年前2
lzm123456ily 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%
克西不等式:
在上式中 另

则有
关于构造二次函数证明不等式,柯西不等式
关于构造二次函数证明不等式,柯西不等式
已知:ai>0 i=1,2,3...n.求证:(a1+a2+a3+...+an)(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an)≤n^2
要有具体的,每一步的过程,谢,
矿泉水谈谈1年前1
碧云飞翔 共回答了18个问题 | 采纳率66.7%
应该是求证:[a(1)+a(2)+a(3)+······+a(n)][1/a(1)+1/a(2)+1/a(3)+······+1a(n)]≧n^2.
[证明]
构造二次函数:y=(√kx+1/√k)^2=kx^2+2x+1/k,其中k是正数.
显然有:kx^2+2x+1/k≧0.
依次令k=a(1)、a(2)、a(3)、a(4)、······、a(n),得:
a(1)x^2+2x+1/a(1)≧0,
a(2)x^2+2x+1/a(2)≧0,
a(3)x^2+2x+1/a(3)≧0,
······
a(n)x^2+2x+1/a(n)≧0.
将以上n个不等式左右分别相加,得:
[a(1)+a(2)+a(3)+······+a(n)]x^2+2nx+[1/a(1)+1/a(2)+1/a(3)+······+1a(n)]≧0.
令f(x)=[a(1)+a(2)+a(3)+······+a(n)]x^2+2nx+[1/a(1)+1/a(2)+1/a(3)+······+1a(n)]
∵k>0,∴a(1)+a(2)+a(3)+······+a(n)>0,
∴f(x)是一条开口向上的抛物线,
∴要满足f(x)≧0,就需要:
(2n)^2-4[a(1)+a(2)+a(3)+······+a(n)][1/a(1)+1/a(2)+1/a(3)+······+1a(n)]≦0,
∴[a(1)+a(2)+a(3)+······+a(n)][1/a(1)+1/a(2)+1/a(3)+······+1a(n)]≧n^2.
注:括号“( )”里的数字是下标.
利用柯西不等式证明若a,b为正数,且a+b=1,则(a+1/a)² +(b+1/b)²≥25/2
利用柯西不等式证明
若a,b为正数,且a+b=1,则(a+1/a)² +(b+1/b)²≥25/2
欢乐851年前1
ebentdd 共回答了17个问题 | 采纳率100%
全部打开,不能直接用柯西不等式
(a²+b²)+[(1/a)²+(1/b)²]≥17/2
首先(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²=1
推出(a²+b²)≥1/2
现在只需要证明(1/a)²+(1/b)²≥8
用两次柯西不等式(1+1)[(1/a)²+(1/b)²]≥(1/a+1/b)²
有(1/a+1/b)(a+b)≥(1+1)²=4
反推回去,可以得到(1/a)²+(1/b)²≥8
得证!
希望对你有启示,一定要沿着取等号的条件a=b=1/2用柯西
构造二次函数证明柯西不等式等号的成立
构造二次函数证明柯西不等式等号的成立
等号不是deta等于0时成立吗?为什么要让f(x)等于0?
花花00011年前1
wolfgangwang 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%
你不让 f(x)=0怎么会有△呢
关于不等式的(柯西不等式)数学大神进!
何处徒弟1年前1
剑芯 共回答了22个问题 | 采纳率77.3%
一定要用柯西不等式做吗?不知道柯西不等式怎么做.
第一问:两个数列相加可得an=2^n+(-1)^n+1
第二问:不等式右边可以写成1/2^k+1/2^k+1,将幂次相同的数移到同侧,可证.我也不知直接做差做不做的出,如果能做,这样就多余了.
第三问,将第二问的结论代入可证.
柯西不等式算术平均大于等于几何平均 是什么?
我是个疯子1年前2
yellowpurple 共回答了20个问题 | 采纳率85%
构造f(x)=(a1x-b1)^2+(a2x-b2)^2=(a1^2+a2^2)x^2-2(a1b1+a2b2)x+b1^2+b2^2>=0恒成立,则方程f(x)=0判别式
急求各种形式的柯西不等式!
kk狂1年前1
伊馨66 共回答了20个问题 | 采纳率95%
柯西不等式么.代数的,积分的,概率的.
在柯西不等式中,有一个侧着写的M的符号是什么意思啊
在柯西不等式中,有一个侧着写的M的符号是什么意思啊
这个符号上面有数字80,下面有k=1,
supretard1年前4
黑咖喱 共回答了25个问题 | 采纳率92%
∑是数据求和的意思(连加),另外∏是数据求积的意思(连乘).
k=1表示从1开始运算,符号上面的80表示一直加到80.
这个符号在人教版初中课本中会出现.
柯西不等式的问题设a,b∈R+,(i=1,2,..,n),且a+b=2求证:a2/(2-a)+b2/(2-b)≥2
purcell1年前1
zllf 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%
利用柯西不等式,
∵{[a/√(2-a)]²+[b/√(2-b)]²}×{[√(2-a)]²+[√(2-b)]²}≥(a+b)²
∴a²/(2-a)+b²/(2-b)≥(a+b)²/(2-a+2-b) ∵a+b=2 a,b∈R+
∴ a²/(2-a)+b²/(2-b)≥2
求函数Y=根号(2x+4)-根号(x+3)的值域,(用柯西不等式)
kongto1年前1
ljdsiew 共回答了20个问题 | 采纳率95%
2x+4≥0,x≥-2
x+3≥0,x≥-3
x≥-2
√(2x+4)-√(x+3)≥0
√(2x+4)≥√(x+3)
2x+4≥x+3
x≥-1
√(2x+4)-√(x+3)<0
√(2x+4)<√(x+3)
2x+4<x+3
x<-1
∴当x取得最小值时,y有最小值
x=-2,y=-1
y∈[-1,+∞]
柯西不等式的条件有没有要求里面的a1-an,b1-bn全是正数?
GMP4561年前1
巴斯宝贝 共回答了21个问题 | 采纳率81%
不用全是正数
【1】
①设a,b,c,d均为非零实数,则:
(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd) ².
等号仅当c/a=d/b时取得.
②设a,b,c,d均为正实数,则:
(a+b)(c+d) ≥[√(ac)+ √(bd) ] ²
等号仅当a/c=b/d时取得.
【2】多元情况:
①设ai和bi (i=1,2,3,…n)均为非零实数,则:
(a1²+a2²+…+an²)(b1²+b2²+…+bn²)≥(a1b1+a2b2+…+anbn) ²
等号仅当b1/a1=b2/a2=…=bn/an时取得.
②设ai和bi(i=1,2,3,…n)均为正实数,则:
(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn) ≥[√(a1b1)+ √(a2b2)+…+√(anbn)] ²
等号仅当b1/a1=b2/a2=…=bn/an时取得.
柯西不等式求最小值时,是放在左边还是放在右边,(假设放在两边都可以求出具体的数值)
朱古力2121年前2
chorn 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
求最小值时是证明函数≥常数,右边的是常数.