1到60这60个自然数中,选取两个数,使它们的乘积是被5除余2的偶数,问,一共有多少种选法?

这是欧拉φ函数的公式：
φ(n)：小于n的数里,与n互质的数的个数.
公式是这样的：
先把 n 进行质因数分n = p1^k1 * p2^k2 * ...* pr^kr
则：φ(n) = n (1 - 1/p1) (1 - 1/p2) ...(1 - 1/pr)
比如：n = 60 = 2^2 * 3 * 5
那么：φ(n) = 60 * (1-1/2) (1-1/3) (1-1/5) = 16
再比如：n = 36 = 2^3 * 3^2
那么：φ(n) = 36 * (1-1/2) (1-1/3) = 12
证明是这样的.
先证明一个引理：如果 m、n 互质,则：φ(mn) = φ(m) φ(n)
然后质因数分解中,p1^k1、p2^k2、...、pr^kr 都是互质的,并且对于质数 p：
φ(p^k) = p^k - p^(k-1) = p^k (1-1/p)
所以乘起来后：
φ(n) = φ(p1^k1) φ(p2^k2) ...φ(pr^kr)
= p1^k1 (1-1/p1) * p2^k2 (1-1/p2) * ...* pr^kr (1-1/pr)
= n (1-1/p1) (1-1/p2) ...(1-1/pr)

　　后报者必胜.
　　∵1+4=5,60÷5=12
　　∴若甲先报一个数1,则乙报四个数2、3、4、5,甲先报两个数1、2,则乙报三个数3、4、5,甲先报三个数1、2、3,则乙报两个数4、5,以此类推,不管甲之后怎么变换报法,最后的60肯定是由乙来报.

据题意知：
按横的方向：
一横行有8种可能
所以6横行有：6*8=48种可能
又因按竖的方向：
一竖行有4种可能
所以10竖行有：4*10=40种可能
但是因其中有8*4=32中和相等,
所以可得一共可以框出：
（48+40）-32
=56种

解题思路：在1～60中，能被3整除的数有：60÷3=20（个），能被4整除的数有：60÷4=15（个），能被5整除的数有：60÷5=12（个），既能被3整除又能被4整除的个数有：60÷（3×4）=5（个），既能被4整除又能被5整除的个数有：60÷（4×5）=3（个），能同时被3、4、5整除的60÷（3×4×5）=1（个），然后从能被3整除的数与能被4整除的数及能被5整除的数总个数里面减去既能同时被3、4整除的和能同时被4、5整除及能被3、5整除数的个数，再加上能同时被3、4、5整除的一个即可．

在1～60中，能被3整除的数有：60÷3=20（个），
能被4整除的数有：60÷4=15（个），
能被5整除的数有：60÷5=12（个），
既能被3整除又能被4整除的个数有：60÷（3×4）=5（个），
既能被4整除又能被5整除的个数有：60÷（4×5）=3（个），
能同时被3、4、5整除的60÷（3×4×5）=1（个），
所以在1到60的整数中，能被3或4或5整除的数有：
20+15+12-5-4-3+1=36（个）；
故答案为：36．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 此题主要考查了数的整除性知识，得出60是能被3或4或5整除的数，是解决问题的关键．

20,40,60

要求精确值的话只有死算,没啥简便方法.
要求估计值导师可以用ln(1+x)的级数展开式来算.
这里的n越大,-1+1/2-1/3+...+1/60的值就越接近于（-ln2）,60已经很大了,基本可以认为所求的值就是(-ln2)

被5除余2的偶数,其尾数一定是2；
那么,个位相乘的算式有1*2,2*6,3*4,4*8,6*7,8*9这6种,
以1*2为例,两两相乘个位是2的其中一个数可能是1、11、21、31、41、51,6种,另一个数可能是2、12、22、32、42、52六种
所以1*2尾数是2的情况有6×6=36种
共6种个位如1*2的
所以共有6×36=216种

1到60one to sixty1-10：one two three four five six seven eight nine ten 11-20 eleven twelve thirdteen fourteen fifteen sixteen seventeen eighteen nineteen twenty30thirty 40forty 50fifty 60sixty