f（x）=4cosxsin(x+π/6)-1的最小周期与单调区间

（1）f（x）=4cosx•sin（x+π6）+a=23sinxcosx+2cos2x+a=3sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+π6）+1+a，∵sin（2x+π6）≤1，∴f（x）≤2+1+a，∴由已知可得2+1+a=2，∴a=-1，∴f（x）=2sin（2x+π6），∴T=2π2=π．（2）...

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

考点点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．要求学生对三角函数图象能熟练掌握．

（1）f(x)＝4cosx•sin(x+
π
6)+a＝4cosx•(

3
2sinx+
1
2cosx)+a
=2
3sinxcosx+2cos2x−1+1+a＝
3sin2x+cos2x+1+a
=2sin(2x+
π
6)+1+a．（4分）
∴当sin(2x+
π
6)=1时，f（x）取得最大值2+1+a=3+a，
又f（x）的最大值为2，∴3+a=2，即a=-1．（5分）
f（x）的最小正周期为T＝
2π
2＝π．（6分）
（2）由（1）得f(x)＝2sin(2x+
π
6)（7分）
∴−
π
2+2kπ≤2x+
π
6≤
π
2+2kπ，k∈Z．（8分）
得∴−
π
3+kπ≤x≤
π
6+kπ．（10分）
∵x∈[0，π]∴f（x）的单调增区间为[0，
π
6]和[
2π
3，π]（12分）

点评：
本题考点： 三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题是中档题，考查利用三角函数的有关公式化简三角函数表达式，求三角函数的最值、周期，单调增区间等知识，正确应用公式化简，是解好这类问题的前提．

f（x）=4cosxsin（x+[π/6]）-1
=4cosx（

3
2sinx+[1/2]cosx）-1
=2
3sinxcosx+2cos²x-1
=
3sin2x+cos2x
=2sin（2x+[π/6]）
（1）令2kπ-[π/2]≤2x+[π/6]≤2kπ+[π/2]，即kπ-[π/3]≤x≤kπ+[π/6]，k∈Z，函数单调增，
∴函数f（x）的递增区间是[kπ-[π/3]，kπ+[π/6]]（k∈Z）．
（2）∵0＜C＜π，
∴[π/6]＜2C+[π/6]＜[13π/6]，
∵f（C）=2sin（2C+[π/6]）=1，
∴sin（2C+[π/6]）=[1/2]，
∴2C+[π/6]=[5π/6]，C=

点评：
本题考点： 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．

考点点评： 本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．注重了对学生基础知识的考查．

（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+[π/6]）-1
=4cosx（

3
2sinx+[1/2]cosx）-1
=
3sin2x+cos2x
=2sin（2x+[π/6]），
∴f（x）的最小正周期T=[2π/2]=π；
（Ⅱ）∵x∈[-[π/6]，[π/4]]，
∴2x+[π/6]∈[-[π/6]，[2π/3]]，
∴-[1/2]≤sin（2x+[π/6]）≤1，
-1≤2sin（2x+[π/6]）≤2．
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-1．

点评：
本题考点： 二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题考查两角和与差的三角函数关系与二倍角的公式，考查正弦函数的单调性，求得f（x）的解析式是关键，属于中档题．

（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+[π/6]）-1
=4cosx（

3
2sinx+[1/2]cosx）-1
=
3sin2x+cos2x
=2sin（2x+[π/6]），
∴f（x）的最小正周期T=[2π/2]=π；
（Ⅱ）∵x∈[-[π/6]，[π/4]]，
∴2x+[π/6]∈[-[π/6]，[2π/3]]，
∴-[1/2]≤sin（2x+[π/6]）≤1，
-1≤2sin（2x+[π/6]）≤2．
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-1．

点评：
本题考点： 二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题考查两角和与差的三角函数关系与二倍角的公式，考查正弦函数的单调性，求得f（x）的解析式是关键，属于中档题．

解；（1）f（x）=4cosxsin（x+[π/6]）+a=4cosx（

3
2sinx+[1/2]cosx）+a=
3sinx+2cos²x+a=2sinx（2x+[π/6]）+1+a
∵函数的最大值为2，
∴a=-1，T=[2π/2]=π；
（2）列表

画图如下：
．

点评：
本题考点： 三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查三角函数的图象，考查学生分析解决问题的能力，正确化简函数是关键．

（Ⅰ）y＝f(x)＝4cosxsin(x+
π
6)−1
=4cosx[sinxcos
π
6+cosxsin
π
6]−1
=4cosx[

3
2sinx+
1
2cosx]−1
=4cosx[

3
2sinx+
1
2cosx]−1
=2
3cosxsinx+2cos2x−1
=2sin(2x+
π
6)．
∴f（x）的最小正周期T=π．
由
π
2+2kπ≤2x+
π
6≤
3π
2+2kπ⇒
π
3+2kπ≤2x≤
4π
3+2kπ⇒
π
6+kπ≤x≤
2π
3+kπ，k∈Z．
∴f（x）的减区间是[
π
6+kπ，
2π
3+kπ]k∈Z；
（Ⅱ）将f（x）图象按向量

a＝(m，0)（m＞0）平移，
得到y＝2sin[2(x−m)+
π
6]
=2sin(2x−2m+
π
6)，
∵该函数为奇函数，∴−2m+
π
6＝kπ⇒m＝
π
12−
k
2π（k≤0，k∈Z）．
即m=
π
12−
k
12π （k≤0，k∈Z）．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查了三角函数中的恒等变换的应用，考查了两角和与差的三角函数，训练了三角函数的平移，考查了与三角函数有关的简单复合函数的单调性的求法，是中档题．

（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+[π/6]）-1
=4cosx（

3
2sinx+[1/2]cosx）-1
=
3sin2x+cos2x
=2sin（2x+[π/6]），
∴f（x）的最小正周期T=[2π/2]=π；
（Ⅱ）∵x∈[-[π/6]，[π/4]]，
∴2x+[π/6]∈[-[π/6]，[2π/3]]，
∴-[1/2]≤sin（2x+[π/6]）≤1，
-1≤2sin（2x+[π/6]）≤2．
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-1．

点评：
本题考点： 二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题考查两角和与差的三角函数关系与二倍角的公式，考查正弦函数的单调性，求得f（x）的解析式是关键，属于中档题．

（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+[π/6]）-1
=4cosx（

3
2sinx+[1/2]cosx）-1
=
3sin2x+cos2x
=2sin（2x+[π/6]），
∴f（x）的最小正周期T=[2π/2]=π；
（Ⅱ）∵x∈[-[π/6]，[π/4]]，
∴2x+[π/6]∈[-[π/6]，[2π/3]]，
∴-[1/2]≤sin（2x+[π/6]）≤1，
-1≤2sin（2x+[π/6]）≤2．
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-1．

点评：
本题考点： 二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题考查两角和与差的三角函数关系与二倍角的公式，考查正弦函数的单调性，求得f（x）的解析式是关键，属于中档题．

（1）f（x）=4cosx•sin（x+[π/6]）+a=2
3sinxcosx+2cos²x+a=
3sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+[π/6]）+1+a，
∵sin（2x+[π/6]）≤1，
∴f（x）≤2+1+a，
∴由已知可得2+1+a=2，
∴a=-1，
∴f（x）=2sin（2x+[π/6]），
∴T=[2π/2]=π．
（2）函数f（x）=2sin（2x+[π/6]），
∴当2kπ-[π/2]≤2x+[π/6]≤2kπ+[π/2]时，即kπ-[π/3]≤x≤kπ+[π/6]，k∈Z，函数单调增，
∴函数的单调递增区间为[kπ-[π/3]，kπ+[π/6]，]（k∈Z）．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

考点点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．要求学生对三角函数图象能熟练掌握．