an+1=an+2an-1构造新数列通项公式的求法(a1=1,a2=3)

解法一：
（Ⅰ）假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，
则有b22＝b1b3．①
由a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1，得a₃=5，a₄=11．
所以b₁=a₂+λa₁=3+λ，b₂=a₃+λa₂=5+3λ，b₃=a₄+λa₃=11+5λ，
所以（5+3λ）²=（3+λ）（11+5λ），解得λ=1或λ=-2．
当λ=1时，b_n=a_n+1+a_n，b_n-1=a_n+a_n-1，且b₁=a₂+a₁=4，
有
bn
bn−1＝
an+1+an
an+an−1＝
(an+2an−1)+an
an+an−1＝2（n≥2）．
当λ=-2时，b_n=a_n+1-2a_n，b_n-1=a_n-2a_n-1，且b₁=a₂-2a₁=1，
有
bn
bn−1＝
an+1−2an
an−2an−1＝
(an+2an−1)−2an
an−2an−1＝−1（n≥2）．
所以存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
当λ=1时，数列{b_n}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{b_n}为首项是1、公比是-1的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1+an＝4×2n−1＝2n+1（n≥1），
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+（a₅+a₆）+…+（a_n-1+a_n）
=2²+2⁴+2⁶+…+2ⁿ=
4(1−4
n
2)
1−4＝
1
3(2n+2−4)．
当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）
=1+2³+2⁵+…+2ⁿ=1+
8(1−4
n−1
2)
1−4＝
1
3(2n+2−5)．
故数列{a_n}的前n项和Sn＝


1
3(2n+2−4)，n为偶数

1
3(2n+2−5)，n为奇数.
∴Sn＝
1
3[(2n+2−4)+
(−1)n−1
2]．
解法二：
（Ⅰ）假设存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列，
设
bn
bn−1＝q（n≥2），即a_n+1+λa_n=q（a_n+λa_n-1），
即a_n+1=（q-λ）a_n+qλa_n-1．
与已知a_n+1=a_n+2a_n-1比较，
令

q−λ＝1
qλ＝2.解得λ=1或λ=-2．
所以存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．
当λ=1时，数列{b_n}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{b_n}为首项是1、公比是-1的等比数列．
（Ⅱ）：由（Ⅰ）可知，

an+1+an＝4×2n−1
an+1−2an＝1×(−1)n−1.
所以an＝
1
3[2n+1+(−1)n]．
则Sn＝
1
3[(22−1)+(23+1)+(24−1)+(25+1)+…+(2n+(−1)n−1)+(2n+1+(−1)n)]，
当n为偶数时，Sn＝
1
3(22+23+24+25+…+2n+2n+1)=[1/3×
4(1−2n)
1−2＝
1
3(2n+2−4)．
当n为奇数时，Sn＝
1
3[(22+23+24+25+…+2n+2n+1)−1]
=
1
3×[
4(1−2n)
1−2−1]＝
1
3(2n+2−5)．
故数列{a_n}的前n项和Sn＝


1
3(2n+2−4)，n为偶数

1
3(2n+2−5)，n为奇数.]
∴Sn＝
1
3[(2n+2−4)+
(−1)n−1
2]．

点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查等比数列的判断和数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．