设f(x)=log121−axx−1为奇函数,则a=______.

christian3222022-10-04 11:39:541条回答

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杏影笛音 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%
解题思路:根据函数奇偶性的定义建立方程关系,求解进行验证即可.

∵f(x)=log
1
2
1−ax
x−1为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即f(x)+f(-x)=0,
则log
1
2
1−ax
x−1+log
1
2
1+ax
−x−1=log
1
2(
1−ax
x−1•
1+ax
−x−1)=0,

a2x2−1
x2−1=1,即a2x2-1=x2-1,
即a2=1,解得a=1或a=-1,
当a=1时,f(x)=log
1
2
1−ax
x−1=log
1
2(−1)不成立,
当a=-1时,f(x)=log
1
2
1+x
x−1满足条件,
故答案为:-1

点评:
本题考点: 函数奇偶性的判断.

考点点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,根据定义建立方程关系,结合对数的运算法则是解决本题的关键.

1年前

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设f(x)=log121−axx−1为奇函数,则a=______.
hanfeng12151年前1
sdy2004 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%
解题思路:根据函数奇偶性的定义建立方程关系,求解进行验证即可.

∵f(x)=log
1
2
1−ax
x−1为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即f(x)+f(-x)=0,
则log
1
2
1−ax
x−1+log
1
2
1+ax
−x−1=log
1
2(
1−ax
x−1•
1+ax
−x−1)=0,

a2x2−1
x2−1=1,即a2x2-1=x2-1,
即a2=1,解得a=1或a=-1,
当a=1时,f(x)=log
1
2
1−ax
x−1=log
1
2(−1)不成立,
当a=-1时,f(x)=log
1
2
1+x
x−1满足条件,
故答案为:-1

点评:
本题考点: 函数奇偶性的判断.

考点点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,根据定义建立方程关系,结合对数的运算法则是解决本题的关键.

设f(x)=log121−axx−1为奇函数,a为常数.
设f(x)=log
1
2
1−ax
x−1
为奇函数,a为常数.
(1)求a的值;并判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性;
(2)若对于区间(3,4)上的每一个x的值,不等式f(x)>(
1
2
)x+m
恒成立,求实数m的取值范围.
sleepinging1年前1
3435466 共回答了23个问题 | 采纳率100%
解题思路:(1)由奇函数的定义域关于原点对称可求得a值,根据单调性的定义及复合函数单调性的判定方法可判断f(x)的单调性;
(2)不等式f(x)>(
1
2
)x+m
恒成立,等价于f(x)-(
1
2
)x
>m恒成立,构造函数g(x)=f(x)-(
1
2
)x
,x∈(3,4),转化为求函数g(x)在(3,4)上的最值问题即可解决.

(1)∵f(x)是奇函数,∴定义域关于原点对称,
由[1−ax/x−1>0,得(x-1)(1-ax)>0.
令(x-1)(1-ax)=0,得x1=1,x2=
1
a],∴[1/a]=-1,解得a=-1.
令u(x)=[1+x/x−1]=1+[2/x−1],设任意x1<x2,且x1,x2∈(1,+∞),
则u(x1)-u(x2)=
2(x2−x1)
(x1−1)(x2−1),
∵1<x1<x2,∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,
∴u(x1)-u(x2)>0,即u(x1)>u(x2).
∴u(x)=1+[2/x−1](x>1)是减函数,
又y=log
1
2u为减函数,
∴f(x)=log
1
2
x+1
x−1在(1,+∞)上为增函数.
(2)由题意知log
1
2
x+1
x−1-(
1
2)x>m,x∈(3,4)时恒成立,
令g(x)=log
1
2
x+1
x−1-(
1
2)x,x∈(3,4),由(1)知log
1
2
x+1
x−1在[3,4]上为增函数,
又-(
1
2)x在(3,4)上也是增函数,故g(x)在(3,4)上为增函数,
∴g(x)的最小值为g(3)=log
1
22-(
1
2)3=-[9/8],
∴m≤-[9/8],故实数m的范围是(-∞,-[9/8]].

点评:
本题考点: 奇偶性与单调性的综合;函数恒成立问题.

考点点评: 本题考查函数的单调性、奇偶性及函数恒成立问题,奇偶性、单调性问题常用定义解决,而函数恒成立问题则常转化为最值问题处理.

设f(x)=log121−axx−1为奇函数,a为常数.
f(x)=log
1
2
1−ax
x−1
为奇函数,a为常数.
(1)求a的值;
(2)若对于区间[3,4]上的每一个x值,不等式f(x)>(
1
2
)x+m
恒成立,求实数m取值范围.
欲天_oo1年前1
xiaokf 共回答了24个问题 | 采纳率75%
解题思路:(1)根据奇函数的定义,我们可得f(-x)=-f(x),结合已知中f(x)=log
1
2
1−ax
x−1
,可以构造一个关于a的方程,解方程即可求出a的值;
(2)构造函数g(x)=f(x)-([1/2])x,判断函数g(x)在区间[3,4]上的单调性,并求出函数g(x)在区间[3,4]上的最小值,进而得到满足条件的实数m取值范围.

(1)f(-x)=-f(x),log
1
2
1+ax
−x−1=−log
1
2
1−ax
x−1,可得[1+ax/−x−1=
x−1
1−ax]
⇒(a2-1)x2=0⇒a=±1
a=1时舍去,故a=-1
(2)f(x)=log
1
2(1+
2
x−1)
构造g(x)=f(x)-([1/2])x=log
1
2(1+
2
x−1)-([1/2])x
易得g(x)在区间[3,4]上单调递增
∴g(x)≥g(3)=-[9/8]
m<-[9/8]
∴m∈(-∞,-[9/8])

点评:
本题考点: 对数函数图象与性质的综合应用;奇函数.

考点点评: 本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用,及奇函数的性质,其中根据奇函数的性质求出a值,进而得到函数f(x)的解析式是解答本题的关键.