求微分方程ydx=(x-1)dy满足初始条件y|x=2=1的特解

冰狐_012022-10-04 11:39:541条回答

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lintt123 共回答了11个问题 | 采纳率81.8%
ydx=(x-1)dy
分离变量
dy/y=dx/(x-1)
lny=ln(x-1)+c
y=(x-1)e^c
当x=2时 y=1
所以e^c=1 即c=0
所以有
y=x-1
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解题思路:由微分方程的形式可知,我们可以利用分离变量法求其通解.

将变量分离,可得
[dy/y=−
dx
x2−4x] (1)
因为
∫−
dx
x2−4x=[1/4∫(
1
x−
1
x−4)dx=
1
4(ln|x| − ln|x−4|)+c=
1
4ln|
x
x−4|+C,
故在(1)式两边积分,可得,
ln|y|=
1
4ln|
x
x−4|+C,
故有
y = C(
x
x−4)
1
4]

点评:
本题考点: 一阶线性微分方程的求解;可分离变量微分方程的求解.

考点点评: 本题考察了求解一阶线性微分方程的分离变量法.本题的计算并不复杂,只需要掌握分离变量法以及一元函数不定积分的计算方法即可.

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x2−4x] (1)
因为
∫−
dx
x2−4x=[1/4∫(
1
x−
1
x−4)dx=
1
4(ln|x| − ln|x−4|)+c=
1
4ln|
x
x−4|+C,
故在(1)式两边积分,可得,
ln|y|=
1
4ln|
x
x−4|+C,
故有
y = C(
x
x−4)
1
4]

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微分方程ydx+(x-y³)dy=0是(一阶线性 )方程,为什么?未知函数y有三次方啊.
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ydx+(x-e^y)dy=0
∴ ydx+xdy=e^y·dy∴ d(xy)=d(e^y)∴ xy=e^y+C
∵ y(2)=3
∴ C=6-e^3
解为:xy=e^y+6-e^3