y''(t)-ty'(t)+y(t)=1

用的着这么费劲吗?
令y'(t)=x,则y(t)=t^2/2+C1,y''(t)=x'(t)
原式可化为：x'(t)-tx+t^2/2+C1=0,标准1阶非齐次方程,带常数变易公式可解.
sherryseany 兄的解法是正道,有一个证明是用的你这种思路.不过陈述概念那个思路好用,解题的话你自己找个解或者特解来求怕不是什么好方法吧.

。。。这不是常系数微分方程，形式简单，但是没有简单的解释解。想破头想不出来正常（其实我用mathematica算了算，结果你不会想看的。。。）

使用微分方程的级数解法

y''(t)=2t

很容易找出一个特解y=2t+1
这个满足你的要求。
要求通解，就要求y''(t)-ty'(t)+y(t)=0的解
对方程两边求导，有[y''(t)-ty'(t)+y(t)]'=0
即y'''(t)=ty''(t)
这样可以求出y''(t)=C[2]e^(t/2)
这表明通解不是初等函数
想求通解的话就把e^(t/2)展开，积两次分即可