设X=1和X=2是f(x)=alnx+bx2+x两个极值点.若f(x)在(a+1,b+n)为减函数,在（a+2n,b+2

f′（x）=[a/x]+2bx+1，
由题意知，f′（1）=f′（2）=0，
即a+2b+1=0，[a/2]+4b+1=0
解得，a=−
2
3，b=−
1
6．
故答案为：-[2/3]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了学生对导数求极值的理解，是基础题．

（1）函数f（x）=alnx+bx²+x，∴f′（x）=[a/x]+2bx+1，
∵x=1和x=2是函数f（x）=alnx+bx²+x的两个极值点，
∴f′（1）=0，f′（2）=0，
可得：

a+2b+1＝0

1
2a+4b+1＝0，解得

a＝−
2
3
b＝−
1
6，
（2）令f′（x）=[−2/3x]−
1
3x+1＞0，（x＞0），即x²-3x+2＜0，（x＞0），可得1＜x＜2
∴f（x）在（2，+∞）及（0，1）上是减函数，在（1，2）上为增函数．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查函数的导数的应用，极值的求法单调区间的求法，考查计算能力．

（1）当x=1时，y=0，代入f（x）=a•lnx+bx²+x得b=-1，
f′（x）=[a/x]-2x+1，由切线方程知f′（1）=1，∴a=2，
故f（x）=2lnx-x²+x．
（2）由（1）得函数y＝
1
2f(x)+
x(x−1)
2=lnx，它的反函数为p（x）=e^x，
∴t（x）=e^x•（1-x），
∴t′（x）=-e^x•x，
当t′（x）=0时，x=0，当t′（x）＞0时，x＞0，当t′（x）＜0时，x＜0．
∴t（x）=e^x•（1-x）在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数，
∴当x=0时，函数t（x）的最大值为1．
（3）由（2）得p（x）（1-x）≤1，
∴当x＜1时，有p（x）≤[1/1−x]
不等式p(−1)+p(−
1
2)+p(−
1
3) +…+p(−
1
n) ＜
1
2+
1
1+
1
2+
1
1+
1
3+…+
1
1+
1
n
=[1/2]+[2/3]+[3/4]+…+[n/n+1]
=（1-[1/2]）+（1-[1/3]）+（1-[1/4]）+…（1-[1/n+1]）
=n-（[1/2]+[1/3]+[1/4]+…+[1/n+1]）≈n-ln（n+1）+C（C=0.57722…一个无理数，称作欧拉初始）
当n-ln（n+1）+C＜n-2010时，原不等式恒成立，
故只须ln（n+1）＞2010+C，即n+1＞e^2010+C，也即n＞e^2010+C-1，
故取N=[e^2010+C]，当n＞N时，不等式p(−1)+p(−
1
2)+p(−
1
3) +p(−
1
n) ＜n−2011恒成立．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；反函数；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、反函数、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．