若复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π),ω=-1+i,则|z-ω|的最大值=55.

hyyangwen2022-10-04 11:39:541条回答

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d635 共回答了27个问题 | 采纳率85.2%
解题思路:利用复数的减法代入后整理,然后运用求模公式写出|z-ω|的模,最后利用三角函数的化简进行求值.

由z=cosθ+isinθ,θ∈[0,π],ω=-1+i,得:z-ω=cosθ+isinθ-(-1+i)=(cosθ+1)+(sinθ-1)i,
所以|z-ω|=
(cosθ+1)2+(sinθ−1)2=
3+2(cosθ−sinθ)=
3+2
2cos(θ+
π
4),
因为θ∈[0,π],所以θ+
π
4∈[[π/4,

4]],所以cos(θ+
π
4)∈[−

2
2,

2
2],
所以|z-ω|的最大值是
5.
故答案为:
5.

点评:
本题考点: 复数求模.

考点点评: 本题考查了复数的模,考查了三角函数的化简与求值,考查了学生的运算求解能力.

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应该理解为对任意的θ∈R均为虚数,
那么虚部m-sinθ-cosθ≠0
∴m≠sinθ+cosθ
∵sinθ+cosθ
=√2(√2/2sinθ+√2/2cosθ)
=√2sin(θ+π/4)∈[-√2,√2]
∴m√2
∴实数m的取值范围是(-∞,-√2)U(√2,+∞)
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若复数z=cosθ+isinθ且z2+.z2=1,则sin2θ=(  )
若复数z=cosθ+isinθ且z2+
.
z
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D.-[1/4]
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解题思路:先根据题目所给复数的条件写出三角函数关系式,逆用余弦的二倍角公式,再变形用余弦的二倍角公式,得到结论.

∵z2+
.
z2=(cosθ+isinθ)2+(cosθ-isinθ)2
=2cos2θ=1
∴cos2θ=[1/2],
∴sin2θ=[1−cos2θ/2]
=[1/4].
故选B

点评:
本题考点: 复数的基本概念.

考点点评: 抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.

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