设A为幂等矩阵,证明:A+E和E-2A是可逆矩阵,并求其逆

A^2=A说明A的特征值一定是0或者1,然后只需证明rank(A)+rank(A-I)=rank(I)
对于最后一个等式,用块初等变换去算下面矩阵的秩即可
A 0
0 A-I

设P^-1*A*P=J
P^-1*A^2*P=P^-1*A*P*P^-1*A*P=J^2
J是A的Jordan标准型
要使J^2=J,则J一定是对角阵

AB+BA=0 若此式左乘A再右乘A就有ABA=0;若此式左乘A再右乘B就有AB+ABAB=0
综合两式有AB=0
同理BA=0

设A是幂等矩阵,则 A^2 = A.
设λ是A的特征值,则 λ^2-λ 是A^2-A的特征值.
而A^2-A=0,零矩阵的特征值只有0
所以 λ^2-λ = 0.
所以 λ(λ-1) = 0.
所以λ=0或λ=1.
即A特征值是0或1.
即幂等矩阵的特征值是0或1.

因为A^2=A=AI,所以A（A-I）=0
所以A或A-I的行列式等于0
A的行列式等于0说明特征值是0
A-I的行列式等于0说明特征值是1

证明:(1) 因为 A^2=A
所以 (A+I)A-2(A+I)=-2I
所以 (A+I)(A-2I)=-2I
所以 A+I 可逆,且 (A+I)^-1 = (-1/2)(A-2I).
(2) 是要证 r(A)+r(I-A)=n 吧!(否则不成立)
因为 A^2=A
所以 A(A-I)=0
所以 r(A)+r(A-I)

设P^-1*A*P=J
P^-1*A^2*P=P^-1*A*P*P^-1*A*P=J^2
J是A的Jordan标准型
要使J^2=J,则J一定是对角阵

因为 A 是n阶实对称的幂等矩阵
所以A 可对角化且 A 的特征值为 1,1,...,1(r个),0,...,0
所以 I+A+A^2+...+A^k = I+kA 的特征值为 1+k, 1+k,...,1+k (r个), k,...,k
所以 |I+A+A^2+...+A^k| = |I+kA| = (1+k)^r k^(n-r).
--注: 行列式等于矩阵的全部特征值之积

两边同乘以一个逆矩阵

Ax＝ax,A^2x=a^2x＝Ax＝ax,故a^2=a,a＝0或a＝1

证明:因为V为幂等矩阵,所以 V^2 = V.
所以 (I+V)(1-1/2V) = 1-1/2V+V-1/2V^2 = 1-1/2V+V-1/2V = I
所以 I+V 可逆,且(I+V)^-1=I-1/2V.

先证其特征值只能为0和1设k是他的特征值,a为其对应的特征向量A^2a=Aka=k^2a因为A^2=A,故A^2a=Aa=ka(k^2-k)a=0,因为a为非零向量故k=0或1再证,矩阵的秩等于其非零特征值的个数.因为A(A-E)=0故n=r(A-(A-E))=r(A-E)但1的...

这其实是个满秩分解的矩阵问题
根据幂等矩阵的定理,若A为幂等矩阵,则存在一个可逆矩阵P使得（P-1）AP=E 0
0 0
E为单位矩阵,（P-1）为P的逆.
则A=P E 0 (P-1)
0 0
令Q=E 0
0 0
因为对角矩阵是幂等矩阵.
如果想知道详细证明过程把你的邮箱告诉我,我写给你,这上面不好弄

幂等矩阵（idempotent matrix）若A为方阵,且A^2＝A,则A称为幂等矩阵.
幂等矩阵的主要性质：
1.其特征值只可能是0,1.
2.可对角化.
3.其伴随矩阵和转置矩阵仍为幂等矩阵.
4.其K次幂也是幂等矩阵.
5.其迹等于其秩.
6.同阶可交换的幂等矩阵的和是幂等矩阵.
7.可逆的幂等矩阵为单位矩阵.

设a是A的特征值
则 a^2-a 是 A^2-A 的特征值
因为 A^2-A=0
所以 a^2-a = 0
所以 a=1 或 a=0
即A的特征值只能是1 或 0.
根据秩为3则特征只是1、1、1、0、0
A-2E的特征值是-1、-1、-1、-2、-2
相乘得-4
如有帮助，请采纳

正好手边有个习题集可以解答这个,这道题目比较傲经典了吧,教科书上没有么?
A-(A-E)=E
n=r(E)

About the threshold value and nuclear of the idempotent matrix

By applying the relevant knowledge of idempotent matrix,projection matrix and generalized inverse matrix,this article establishes the relations of the range and kernel of idempotent matrix,and then presents the proof.During the proving process,the problem that needs to be solved is on how to prove the relations of range and kernel; and the relevant knowledge of idempotent matrix and its range and kernel,projection matrix and generalized inverse matrix must be applied to study the problem,and the key of the question is to incorporate the property of idempotent matrix with the properties of its range and kernel.Idempotent matrix is a widely used matrix,the discussion on properties of the range and kernel of idempotent matrix can enhance the understanding of its property,enrich the relative knowledge and at the same time,it is also an excellent training to discuss problems by applying the learned basic knowledge.

对diag{A,A-I}做块初等变换可以化到diag{0,I},所以rank(A)+rank(A-I)=rank(I)=n
然后A的特征值只能是0,1,几何重数看相应的rank