倒序相加法 等比数列等比数列求和可以用倒序相加法吗?如果可以,请举例或解释 不可以也请解释

错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列；分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn；然后错一位,两式相减即可.如果一个数...

裂项相消法 最常见的就是an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
Sn=1/1*2+1/2*3+.+1/n(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消,最后只剩首尾两项）
=1-1/(n+1)
错位相减法
这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
倒序相加法
这个在证明等差数列求和公式时就应用了
Sn=1+2+..+n
Sn=n+n-1+.+2+1
两式相加
2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)
=(n+1)*n
Sn=n(n+1)/2

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

sin^2(1°)+sin^2(89°)=sin^2(1°)+cos^2(1°)=1
同理sin^2(2°)+sin^2(88°)=sin^2(2°)+cos^2(2°)=1
原式=1*44+sin^2(45°)=89/2

1倒序相加法
就是等差数列的Sn公式推导
设等差数列首项为a,公差为k
则通项公式为a(n)=a+(n-1)k
则有
a(1)=a
a(2)=a+k
a(3)=a+2k
......
a(n)=a+(n-1)k
可得
Sn=na+ k+ 2k+ ...+(n-2 )k+(n-1)k
倒序得
Sn=na+(n-1)+(n-2)k...+ 2k + k
相加得
2Sn=2na+n(n-1)k
Sn=na+n(n-1)k/2
2错位相减,就是针对等比数列
给Sn乘以公比,相减得出
3、拆项相消法
就是将一个通项公式拆项成两个相减的公式,Sn相加后刚好抵消为第一项和最后一项
总之很多,只要有兴趣,你一定会提高的

叠加法就是把题目中给的通项公式或者前N项和的前N项写出来,然后全部加起来,等号左边的加左边的,右边的加右边的,往往右边的可以相互抵消,将题目变得很简单,累乘也是这个意思,往往右边的上下项可以相互约去,这些都是很巧很好的方法,对数列题极其有效
如：.在{an}中,a1=2,an+1=an+2^n(n=1,2,3……)
an+1=an+2^n,an+1-an=2^n;
a2-a1=2,a3-a2=2^2,a4-a3=2^3……an-an-1=2^n-1
以上各式子累加：an-a1=2+2^2+2^3+……+2^n-1=(2^n)-2[用等比数列的求和方法]
所以an=2^n ,且a1=2适合,an=2^n
迭代法迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法）,即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法.迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行,在每次执行这组指令（或这些步骤）时,都从变量的原值推出它的一个新值.在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量.
对迭代过程进行控制
　　在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值,可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况,可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况,需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.
例 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子,这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子,新生的兔子也如此繁殖.如果所有的兔子都不死去,问到第 12 个月时,该饲养场共有兔子多少只?　　分析：这是一个典型的递推问题.我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ,第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ,第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ,……根据题意,“这种兔子从出生的下一个月开始,每月新生一只兔子”,则有 　　u 1 ＝ 1 ,u 2 ＝ u 1 ＋ u 1 × 1 ＝ 2 ,u 3 ＝ u 2 ＋ u 2 × 1 ＝ 4 ,…… 　　根据这个规律,可以归纳出下面的递推公式：　　u n ＝ u( n － 1 )× 2 (n ≥ 2) 　　对应 u n 和 u( n － 1 ),定义两个迭代变量 y 和 x ,可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：　　y=x*2 　　x=y 　　让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次,就可以算出第 12 个月时的兔子数.参考程序如下：　　cls 　　x=1 　　for i=2 to 12 　　y=x*2 　　x=y 　　next i 　　print y 　　end
倒序相加法：如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写和与倒着写和得两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法　
如求1+2+3+...+n=?　　S=1+2+3+...+(n-1)+n 　　S=n+(n-1)+...+3+2+1 　　则,2S=(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)=(n+1)n 　　举例2 　　求数列：2 4 6……2n的前n项和 　　2 4 6 …… 2n 　　2n 2(n-1) 2(n-2)…… 2 　　设前n项和为S,以上两式相加 　　2S=[2+(2n)]+[4+2(n-1)]+[6+2(n-2)]+……+[(2n)+2] 共n个2n+2 　　故：S=n(2n+2)/2=n(n+1)
错位相减法:（适用于是由一个等差数列和一个等比数列组成的数列求和）
eg:
1x2+2x4+3x8+……+nx2的n次方 …… 1式
1x4+2x8+3x16……+（n-1)x2的n次方+ nx2的n+1次方 …2式
1和2相减,得答案.

一楼“如果数列是等比数列的话就可以倒系（序）求和法”说错了,应该是等差数列可以用倒序求和.
举例1
设数列：1 2 3 4 ……n
求其前n项的和
1 2 3 4 ……n
n n-1 n-2 n-3……1
设前n项和为S,以上两式相加
2S=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+……+(1+n) (供n个n+1)
=n(n+1)
故S=n(n+1)/2
又比如：
举例2
求数列：2 4 6……2n的前n项和
2 4 6 …… 2n
2n 2(n-1) 2(n-2)…… 2
设前n项和为S,以上两式相加
2S=[2+(2n)]+[4+2(n-1)]+[6+2(n-2)]+……+[(2n)+2] 共n个2n+2
故：S=n(2n+2)/2=n(n+1)
对于等比数列,一般用“错位相减”法
举例3如下：
求数列：2 4 8 ……2^n的前n项和
设
S=2+4+8+……+2^n,将其两边同乘以2
2S=2*2+4*2+8*2+……+2^(n+1)
=0+4+8+……+2^(n+1)
注意到前式只有首项和末项与后式不同,后式减前式
得2S-S=(0-2)+(4-4)+(8-8)+……+（2^n-2^n）+2^(n+1)
S=2^(n+1)-2
上述“错位相减”方法对于如下情形同样适用：
数列Cn=An*Bn,其中：An为等差数列,Bn为等比数列.
（此类数列求和问题是高考的常考题型）
举例4如下：
求数列Cn=n*2^n的前n项和
设此数列的前n项和为S
S=1*2+2*4+3*8+……+n*2^n ,两边同乘以2
2S= 0+1*4+2*8+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
后式减前式：
S=-(2+4+8+……+2^n)+n*2^(n+1)
其中由上题例3的结论：2+4+8+……+2^n=2^(n+1)-2
S=-2^(n+1)+2+n*2^(n+1)=2+(n-1)*2^(n+1)
还有不明白的尽管说!

例如：
求数列：1 3 5 7 9 ......2n-1 的和.
设s1=1+3+5+...+（2n-1）
s2=（2n-1）+（2n-3）+...+5+3+1
s1+s2=[1+(2n-1)]+[3+(2n-3)]+...+[(2n-3)+3]+[(2n-1)+1]
=2n+2n+..+2n=2n*n
所以s1=n*n

=1 2 ...(n-2) (n-1)~b=(n-1) (n-2) ..2 直接相加右边共有(n-1)项每项为n

1.倒叙相加法：
最基本的
1+2+3+4……+100
=(1+100)+(2+99)+(3+98)...(48+53)+(49+52)+(50+51)
=101*50
=5050
稍微复杂的
f{x}=1/[2^x+√2]求f[-5]+f{-4}+……+f{0}+……+f{5}+f{6}的值
所以S=f(-5)+f(-4)+……+f(0)+……+f(5)+f(6)
S=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+[f(-3)+f(4)]+[f(-2)+f(3)]+[f(-1)+f(2)]+[f(0)+f(1)]
而f(-5)+f(6)...f(0)+f(1)等式子都满足f(x)+f(1-x)的形式
也即使f(-5)+f(6)...f(0)+f(1)的值都是√2/2
所以S=6×√2/2=3√2
2.裂项法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
（ 1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
( 2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
　　（5） n·n!=(n+1)!-n!
简单的
1.求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
设 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
　　则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
　　＝ 1-1/(n+1)
　　＝ n/(n+1)
复杂的
3.合并法

f(t)+f(1-t)=1/（2^t+根号2）+1/（2^(1-t)+根号2） 后面的分式分子分母同乘以 2^t =1/（2^t+根号2）+2^t/（2^+根号2* 2^t） =根号2/（根号2*2^t+2）+2^t/（2^+根号2* 2^t） =1S=f(-8)+f(-7)+…...

注意到倒序相加后每一组的两个数（如f(1/n)跟f(n-1/n)括号里相加恰好为1）
再看f(x)=1/2+log2(x/(1-x)) 中x和1-x分别在分子分母
故相加后的每一组相加会把各自log的这一项抵消掉
（如f(1/n)+f((n-1)/n)=1/2+log2(1/(n-1))+1/2+log2(n-1)=1)
故每组相加后的和为1
而共有n-1项
故2Sn=(n-1)*1

1+2+...+100

f(x)+f(1-x)=4^x/(4^x+2)+4^(1-x)/(4^(1-x)+2)=1
2s=[f(1/2002)+f(2001/2002)]+……+[f(1000/2002)+f(1002/2002)]+2f(1001/2002)
=2001
s=1000.5

f(-8)+f(8)=f(-7)+f(7)=.=f(0)+f(9),
所以为 1