曲线积分公式?

图上的这个解法的思想是对的,但是步骤有误,L的反向与l合起来是整个区域的正向边界曲线,由格林公式,积分是0,所以L上的积分与l上的积分相等,最后结果应该是8/3.
（也可以判断出这个曲线积分与路径无关,选择积分路径是x轴上的有向直线段OA,结果是8/3）

虽说结果与路径无关,但是怎么知道起点与终点的位置如何?
如果透过格林公式的结果是0,用参数方程的结果又是0,那又如何解释呢?
那只有起点和终点的位置都一样,重合了.
起点无论从曲线哪处开始也好,都绕曲线正向走了一圈回到原来的位置.
格林公式的结果是0,无论你在曲线内如何设曲线也好,绕其走的曲线积分结果一样是0.
除非曲线内存在奇点,这样D就是复连通区域.
即单连通区域是0,复连通区域≠0

1、(yy''-y'^2)/y^2=lny
(y'/y)'=lny
(lny)''=lny
(lny)''-lny=0
特征方程为t^2-1=0,t=±1
所以lny=C1e^x+C2e^(-x)
y=e^(C1e^x+C2e^(-x))
2、P=xln(x^2+y^2-1),Q=yln(x^2+y^2-1)
则(P,Q)在L上连续可导
Py=2xy/(x^2+y^2-1)=Qx
所以(P,Q)有原函数,I与L的选取无关
选这样一个L：x=2cost,y=2sint (t:0→π/2)
则I=∫(0→π/2)0dt=0

这个问题是这样的：
首先明白一个概念：什么是区域边界是正向的,就是你站在曲线上走时,向左才能看到区域,你么你走的是正向.反之是负向的.
你补了一个曲线小圆l,它与外围大曲线L联合形成一个区域（即你图中绿部分D1）的边界,这个区域有两个边界曲线,L和了,那么这个边界的正向是：L逆时针,l顺时针.但单独看小圆l,它围成的区域是它的内部园,它的正向是逆时针,所以小圆的正向与负向是相对不同区域而言的,
你这个问题搞不清楚,我建议你这样看：你不要用曲线的正负,用顺时针与逆时针.你把第一个问号改成（L逆+l顺）,那么第二个问号是(l顺),第三个问号是(l顺),那后面的积分就是(l逆),这不就是化成同方向的小圆上的积分了吗.
你仔细体会下：核心点就是区域不一样,方向不一样.小圆如看成外面的边界与看成内部区域的边界它的正向是不一样的.

第一类曲面积分是可以直接带入的,平面上的点满足2x+4y/3+z=4
原积分=∫∫4dS=4∫∫dS=4∫∫[√(6^2+4^2+3^2) /3]dxdy=4√61/3∫∫dxdy=(4√61/3)*(2*3/2)=4√61