设f(x)＝ex1+ax2，其中a为正实数．

解题思路：求出f'（x），根据f（x）为R上的单调函数，转化为f'（x）≥0或f'（x）≤0在R上恒成立，根据a为正实数，将f'（x）≥0或f'（x）≤0在R上恒成立，转化为ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，利用二次函数的性质，可知△≤0，求解即可得到a的取值范围．

∵f(x)＝
ex
1+ax2，
∴f'（x）=ex•
1+ax2−2ax
(1+ax2)2，
∵f（x）为R上的单调函数，
∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在R上恒成立，
又∵a为正实数，
∴f'（x）≥0在R上恒成立，
∴ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
∴△=4a²-4a=4a（a-1）≤0，解得0≤a≤1，
∵a＞0，
∴0＜a≤1，
∴a的取值范围为0＜a≤1．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 考查了利用利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．

解题思路：（I）依题意，由f′（[1/2]）=0，即可求得a的值；
（II）求f′（x）=

(ax2−2ax+1)ex

(1+ax2)2

，令f′（x）=0可求得方程ax²-2ax+1=0的根，将f′（x）与f（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间．

f′（x）=
(ax2−2ax+1)ex
(1+ax2)2．
（I）因为x=[1/2]是函数y=f（x）的一个极值点，
所以f′（[1/2]）=0，
因此[1/4]a-a+1=0，
解得a=[4/3]．
经检验，当a=[4/3]时，x=[1/2]是y=f（x）的一个极值点，故所求a的值为[4/3]．…（4分）
（II）f′（x）=
(ax2−2ax+1)ex
(1+ax2)2（a＞0），
令f′（x）=0得ax²-2ax+1=0…①
（i）当△=（-2a）²-4a＞0，即a＞1时，方程①两根为
x₁=
2a−
4a2−4a
2a=
a−
a2−a
a，x₂=
a+
a2−a
a．
此时f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，
a−
a2−a
a）
a−
a2−a
a （
a−
a2−a
a，
a+
a2−a
a）
a+
a2−a
a （
a+
a2−a
a，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗所以当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，
a−
a2−a
a），（
a+
a2−a
a，+∞）； f（x）的单调递减区间为（
a−
a2−a
a，
a+
a2−a
a）．
（ii）当△=4a²-4a≤0时，即0＜a≤1时，ax²-2ax+1≥0，
即f′（x）≥0，此时f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
所以当0＜a≤1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．…（13分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的单调性，求得f′（x）=0之后，将f′（x）与f（x）的变化情况列表是关键，属于中档题．

解题思路：（Ⅰ）依题意，x=[1/2]是函数y=f（x）的一个极值点，由f′（[1/2]）=0即可求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

( 4 3 x2− 8 3 x+1)ex

(1+ 4 3 x2)2

，令f′（x）=0，可求得极值点，通过对f（x）与f′（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间，再对b分[1/2]＜b＜[3/2]与b≥[3/2]两类讨论即可求得函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．

f′（x）=
(ax2−2ax+1)ex
(1+ax2)2，
（Ⅰ）因为x=[1/2]是函数y=f（x）的一个极值点，
所以f′（[1/2]）=0，
因此，[1/4]a-a+1=0，
解得a=[4/3]，
经检验，当a=[4/3]时，x=[1/2]是y=f（x）的一个极值点，故所求a的值为[4/3]．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=
(
4
3x2−
8
3x+1)ex
(1+
4
3x2)2，
令f′（x）=0，得x₁=[1/2]，x₂=[3/2]，
f（x）与f′（x）的变化情况如下：

x （-∞，[1/2]） [1/2] （[1/2]，[3/2]） [3/2] （[3/2]，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x）
3
e
4
e

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出分类讨论思想与方程思想的考查，属于中档题．