f(x)=∫(0,2x)f(t/2)dt+ln2,显然f(0)=ln2 两边求导 f'(x)=f(2x/2)*(2x)'

gong18182022-10-04 11:39:542条回答

f(x)=∫(0,2x)f(t/2)dt+ln2,显然f(0)=ln2 两边求导 f'(x)=f(2x/2)*(2x)' 即f'(x)=2f(x)
为什么不用将dt配成d(2/t),原式变成f(x)=2∫(0,2x)f(t/2)d2/t)+ln2
两边求导
f'(x)=2f(2x/2)*(2x)'
即f'(x)=4f(x)

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guestabc1111 共回答了13个问题 | 采纳率84.6%: 如果要d(x/2)的话,注意积分上下限可能有更变的.
将t变为t/2,d(t/2) = (1/2)dt ==> dt = 2 d(t/2)
当t = 0时,t/2 = 0
当t = 2x时,t/2 = 2x/2 = x
所以∫(0→2x) f(t/2) dt = ∫(0→x) f(t/2) * 2 d(t/2) = 2∫(0→x) f(u) du,假设u = t/2
∴f'(x) = 2f(x) * x' = 2f(x); 1年前

yunji521 共回答了841个问题 | 采纳率: 当把t/2看成整个变量u时,u的积分区间是[0,x],就没有后面的2x求导了.; 1年前

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令y=t/2,原方程即为f(x)=∫f(y)d2y+ln2,积分区间是(0,x)
对上式做微分,得：df=2f(x)
即 d ln(f) =2,于是f=a * exp(2x）,其中a是常数,待定.
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则f(x)=2∫f(u)du+ln2(积分限是0~x),
所以f'(x)=2f(x)
求解得到f(x)=Ce^(2x)
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