M点是抛物线Y方=2PX（P大于0）上的任意一点,F为焦点,求分向量MF为2：3的点M的轨迹方程

第一题 设另外的两个点是A B,那么可以设A（X,根号2PX）B（X,-根号2PX）,因为是正三角形,所以
X^2+2PX=8PX 所以X=6P
所以说边长为L=2根号2PX=4根号3 P（P不在根号下）
第二题我有点没明白,是不是有什么标点符号你没打呀

第一题：设A(x1,2px1) B(x2,2px2) 则C坐标为（x2 ,-2px2）
设E的坐标为（m,0）,由于AE和CE的斜率相同,所以有 (2px1-0)/(x1-m) = (-2px2-0)/(x2-m)
化简可得,m=2x1x2/(x1 + x2)
同理可以设D的坐标为（n,0）,由于AD和BD的斜率相同,有 (2px1-0)/(x1-n)=(2px2-0)/(x2-m)
化简可得 n= -2x1x2/(x1 + x2)
由于m和n的绝对值相同,符号不同,所以O为中点.
第二题 ：设C的坐标为（x,y）
由于准线为 x= -2 ,定点为焦点和准线的中点,所以可以得到焦点坐标是（2x+2 ,y）,
抛物线恒过定点A（2,0） ,所以点A（2,0）到焦点的距离等于到准线的距离
可得：(2x+2-2)^2 + y^2 = [2-(-2)]^2 ,化简可得 x^2/4 +y^2/16 =1,这是一个焦点在Y轴的椭圆
不存在,这个是要画图的,该椭圆上任意两点对B的张角最大的时候是出现在X轴的两点,也就是当（2,0）和（-2,0）的时候角MBN达到了最大,此时仍然是锐角,所以不存在
第三题,显然这两条直线不能是X轴和Y轴,因为它们都只和抛物线有1个交点
设一条直线为 y=kx,则另一条直线为 y=-x/k
分别联立方程组 y=kx y=-x/k
y^2 =6x y^2=6x
解出另两个点（6/k^2 ,6/k） ,（6k^2 ,-6k）
它们的中点为（3/k^2 +3k^2 ,3/k - 3k）=(x ,y)
然后就是用x 和y相互变形,将k消去
y^2 =9(1/k^2 + k^2 -2 ) =3x -18
即：y^2+ 18 =3x 这是一个抛物线

1,设y=2x交y=2px与点A,则点A的坐标为（p/2,p）; 则点A到原点的距离为：（p/2)+p=5p/4; 直角三角形的另一个点B的坐标为(α,β) 有((p/2)-α)+(p-β)=75;结合β=2pα; 解得结果用p表示,再求点B到原点的距离,最后用直角三角形的性质解就可以了.

设直线L的斜率为k.∵给定的抛物线方程是：y^2＝2px,∴抛物线的焦点F的坐标是（p/2,0）.∴抛物线的准线是x＝－p/2,且直线L的方程是：y＝k（x－p/2）,即：x＝y/k＋p/2.联立：x＝y/k＋p/2、y^2＝2px,消去x,得：y^2＝2py...

设P坐标是(X1,Y1),Q坐标是(X1,Y2),则2yo=y1+y2.
Y1^2=2px1
y2^2=2px2
二式相减得:
(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2)
即PQ斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)=2p/2yo=p/yo

证明:设点P,Q的坐标分别是P（x1,y1),Q(x2,y2)(y1>y2),则直线OP的方程为
y=(y1/x1)x=[y1/(y1^2/2p)]x=2px/y1
所以点M的纵坐标为y=2p(-p/2)/y1=-p^2/y1
（分析法）欲证MQ平行于x轴（x轴为抛物线的对称轴）,即证点M,Q的纵坐标相等,即证-p^2/y1=y2,即y1y2=-p^2...(1)
下面对情形一证明（1）成立：
情形一：当PQ不是抛物线的通径时,设直线PQ的方程为 y=k[x-(p/2)] ,将它与抛物线的方程联立后消去x得：y^2-(2p/k)y-p^2=0,所以y1y2=-p^2（韦达定理）,即（1）成立,所以此时MQ平行于抛物线的对称轴；
情形二：当PQ为抛物线的通径时,易得点P的坐标为P（p/2,p),所以直线PQ的方程为y=2x,所以点M的纵坐标为-p=y2(=-p),所以MQ平行于抛物线的对称轴.
综上,PQ平行于抛物线的对称轴.

直线l的方程
y=x-1
y^2=x^2-2x+1=2px
x^2-(2+2p)x+1=0
x1+x2=2+2p
|PQ|=8=(p/2+x1)+(p/2+x2)=p+x1+x2=p+2+2p
p=2
抛物线方程
y^2=4x

（1）依题意知,抛物线开口向右,顶点在原点,设抛物线上任一点M(xo,yo),则
xo≥0,且yo²=2pxo
MA²=(xo-5)² +yo²=(xo-5)² +2pxo=xo² -(10-2p)xo+25=令=g(x)
则g(x)是一个二次函数,开口向上,对称轴为x=5-p
下面来求g(x)在x≥0上的最小值.
当对称轴在y轴左侧时,5-p5,此时g(x)在x≥0上是单调的增函数,所以g(x)在x=0时取得最小值.
最小值= g(0)=25,所以,A点到抛物线上的点最短距离为5,与题设矛盾,不成立.
当对称轴在y轴右侧时,5-p≥0,即p≤5,此时g(x)在x≥0上先递减后递增,所以g(x)在对称轴x=5-p处取得最小值.
最小值= g(5-p)= -p²+10p,依题意得
-p²+10p=4²,结合p>0及p≤5,解这个方程得p=2
综上所述,抛物线的方程为y²=4x
(2)设AB的直线方程为x=ky+b,(b≠0),代入抛物线方程消x得
y²-4ky-4b=0
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理有
y1+y2=4k
y1y2= -4b
向量OA= (x1,y1)、向量OB(x2,y2)
因为OA⊥OB,所以向量OA*向量OB=0,即
(x1,y1)*(x2,y2)=0,化简得
x1x2+y1y2=0
(ky1+b) (ky2+b)+y1y2=0
(k²+1) y1y2+kb(y1+y2)+b²=0
(k²+1)*(-4b)+kb*(4k)+b²=0
解得b=4
所以AB的直线方程为x=ky+4,令y=0得x=4,所以无论k为何值,直线AB恒过定点(4,0)
故原题得证,直线AB恒过定点Q(4,0)

设A,B在抛物线y方=2px上,C在原点,则A,B关于x轴对称,设A（y1方除以2p,y1),B(y2方除以2p,y2),则|AB|=|y2-y1|=2|y1|,|AC|=根号下yi方除以2p的方加y1方,因为ABC为正三角形,角ACX=30度,则yi方除以2p=根3乘以y1,即y1=2p乘以根3,所以边长=4p乘以根3.