群论问题（4）如果H,K,N是群G的子群,并且H是K的子群,H∩N=K∩N,HN=KN,求证H=K.2楼说的是啥？

要注意两个不同的概念:
一个群的阶(order)就是该群的基数(cardinality).对于有限群G来说,G的阶/基数|G|就是其所含所有元素的个数.
若g是有限群G的一个元素,n为最小自然数,且满足g^n=e,则称n为元素g的阶(order).一个由g生成的有限群的子群={e,g,g^2,...,g^(n-1)},其阶/基数等于该元素g的阶.






问:有限群G的基数是g,是不是对于任何的a属于G,都有a^g(a的g次方)=e(e为单位元)?

答:不是.
若循环群G=,即G完全由a生成,则该命题成立；其余情况下,则不成立.

[找到了一个简单的做法,居然没想到……]
设[H:G]=r,且t(1),...,t(r)是H在G中的一组右陪集代表元,其中t(1)=e.任取G中元素g,任取一个i（1≤i≤r）,则存在唯一的j（记作g(i)）,使得
H*t(i)*g = H*t(j)
从而存在唯一H中的元素h(i,g),使得
t(i)*g = h(i,g)*t(g(i))
容易验证,i → g(i) 是G在{1,...,r}上的一个作用,即：
g'(g(i)) = gg'(i)
设X是G的生成元集合,另作集合Y,由X中各元素的逆组成.于是X、Y是有限集合,并且G中的任意元素都能表示为X∪Y中元素的有限乘积.特别地,对H中的任意元素a,存在X∪Y中的元素y_1,...,y_s,使得
a = y_1y_2...y_s
于是
a = t(1)a = t(1)y_1...y_s = h(1,y_1)t(y_1(1))y_2...y_s
= h(1,y_1)h(y_1(1),y_2)t(y_1y_2(1))y_3...y_s = ...
= h(1,y_1)h(y_1(1),y_2)...h(y_1...y_{s-1}(1),y_s)t(a(1))
但是Ha=H,故t(a(1)) = t(1) = 1
这就说明了H中的任意元素a均可表为以下集合中元素的有限积：
{h(i,x)|1≤i≤r,x∈X∪Y}
这是一个有限集,即证

线性代数是高等代数的一大分支.我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数.在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵.行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章.向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情.向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力.同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）.因此,虽然表面上看,行列式和矩阵不过是一种语言或速记,但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙.然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具.
线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的. 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,意思是 “ 解行列式问题的方法 ” ,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家, 微积分学奠基人之一 莱布 尼 兹 （ Leibnitz , 1693 年） . 1750 年 克莱姆（ Cramer ） 在他的《线性代数分析导言》（ Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中 发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则）. 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了.对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件. Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 ' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人.并且给出了一条法则,用二阶子式和它们的余子式来展开行列式.就对行列式本身进行研究这一点而言,他是这门理论的奠基人. Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式,这个方法现在仍然以他的名字命名. 德国数学家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论.另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家 柯西 (Cauchy) ,他大大发展了行列式的理论,在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法,与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理.相对而言,最早利用矩阵概念的是 拉格朗日（ Lagrange ） 在 1700 年后的双线性型工作中体现的.拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题,其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法.为了完成这些,他首先需要一阶偏导数为 0 ,另外还要有二阶偏导数矩阵的条件.这个条件就是今天所谓的正、负的定义.尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵.
高斯（ Gauss ） 大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题.（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学.）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名,但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统.在当时的几年里,高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分,而不是数学.而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中.许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当.
矩阵代数的丰富发展,人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义.二者要在大约同一时间和同一地点相遇. 1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词,它来源于拉丁语,代表一排数. 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育. Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义,使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积.他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题.著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根,就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的.利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的.在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系. 数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语,并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念,并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论,
数学家试图研究向量代数,但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义.第一个涉及一个不可交换向量积（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（ Die lineale Ausdehnungslehre ） 一 书中提出的. (1844) .他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中,结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵,或简单矩阵.在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述.其后物理学家 P. A. M. Dirac 提出了行向量和列向量的乘积为标量.我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给出的.
矩阵的发展是与线性变换密切相连的.到 19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间.现代向量空间的定义是由 Peano 于 1888 年提出的.二次世界大战后随着现代数字计算机的发展,矩阵又有了新的含义,特别是在矩阵的数值分析等方面. 由于计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础.

反证法:假设不存在元素a≠e,使得a^2=e.
由G是群知a*a^(-1)=e
所以对于G中任意元素a≠a^(-1)
由于a与a^(-1)成对出现再加上幺元e
则G必为奇价
与G是偶价有限群矛盾
所以假设不成立
所以如果G是偶价有限群,则G含有元素a≠e,使得a^2=e.

Z12表示非负整数：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11组成的集合
+12表示加法运算,取12的余数,比如：7+8 = 3 3 + 4 = 7 9 + 3 = 0等等

[]是等价类的意思吧
lp……学过太久了,看到lp第一反应是李普希斯条件……微分方程的,显然不对吧

抽代里的题吧,用定义就行了啊

如果你是初学者建议你去看 伽罗华理论 （他的故事你应该知道)
对物理感兴趣的话可以看 李群（李代数） 夸克模型就是用这个的 ,(当然你对物理不感兴趣也不会影响你对李群的爱好)
对几何（尤其是非欧几何）感兴趣的话：爱尔朗（是这么翻译的吧）纲领
有限单群的分类 ,魔群
想了解菲尔兹奖得主（叫啥我忘了） 魔群月光
如果非要什么定理的话：拉格朗日定理,西罗定理,四色定理,李群三定理,还有一些想不起名字的定理.
难题的话,群论诞生就是由一个难题开始的,建议你去看看代数数论和超越数论.全凭个人喜好,

这些是大学才学的,是大学基础课程 .是高数和线代的内容,另外还要学概率论 .想要提前了解的话看大学教材吧,建议你看农林院校的,比较简单些

首先
e1*e1 = e1Δ(e1*e1) = (e1*e2)Δ(e1*e1) = e1Δ(e2*e1) = e1Δe1 = e1
然后
x = e1Δx = (e1*e1)Δx = (e1Δx)*(e1Δx) = x*x
同理可证 x = xΔx

对称性需要用数学形式来表示出来,这种数学形式就是群.在粒子物理中,用到的对称性就是规范不变性,就是如果粒子的波函数引入相位的话,整个理论是不变的,而这个不变性就通过引入相互作用来协变统一形式.电磁相互作用,弱相互作用,强相互作用就通过这种形式解释.
夸克的味有它特有的矩阵表示,还有群论有很多形式表示,SU和SO都是李群,可以简约地用矩阵表示,物理上叫做生成子.

群当中之定义了一种运算,也就是加法；而环中定义了两种运算,首先是对于加法构成Abel群,其次定义了乘法

1. 我不确定X*4是什么运算, 如果是乘法, 由9元有限域GF(9)的特征是3, 有4 = 1, 解为X = 1.
如果是乘方, 我习惯写X^4. 要写出方程X^4 = 1的解, 需要给GF(9)中的元素一个表示方法.
可以用y²+1是GF(3)[y]中的不可约多项式, 将GF(9)等同于多项式环的商环GF(3)[y]/(y²+1).
GF(9) = {[0], [1], [2], [y], [y+1], [y+2], [2y], [2y+1], [2y+2]}, 这里用[ ]代表等价类.
由[y]²+[1] = [0], [y]和-[y] = [2y]是X²+[1] = [0]的两根.
于是[0] = X^4-[1] = (X²-[1])(X²+[1]) = (X-[1])(X+[1])(X-[y])(X+[y]).
得解为X = [1], [2], [y], [2y]. 不知道这是不是你想要的形式.
2. 这两个群是不同构的, 我想你要找的是同态吧.
既然能出这个问题, 应该知道对有限Abel群的以下结论吧(等号表示同构):
Hom(A⊕B,C) = Hom(A,C)⊕Hom(B,C), Hom(A,B⊕C) = Hom(A,B)⊕Hom(A,C).
另外若正整数m和n互素, 则有Hom(Z_m,Z_n) = 0. 用以上结论可以得到:
Hom(Z_3⊕Z_9⊕Z_27,Z_6⊕Z_2⊕Z_4) = Hom(Z_3,Z_6)⊕Hom(Z_9,Z_6)⊕Hom(Z_27,Z_6).
循环群的同态由生成元的像决定. 以Hom(Z_9,Z_6)为例, 1是Z_9中的生成元, 阶为9.
1的像必须是Z_6中阶数整除9的元素, 只能为0, 2, 4, 分别得到3个同态:
可以写为f(y) = 0, f(y) = 2y与f(y) = 4y.
对另两个分量同样讨论, 可将Hom(Z_3⊕Z_9⊕Z_27,Z_6⊕Z_2⊕Z_4)的元素表示为:
f(x,y,z) = (ax+by+cz,0,0), 其中a, b, c分别可取0, 2, 4, 共27个同态.
3. 已知结论: 素数方幂阶的群是可解的.
设G是一个72阶群. 由Sylow定理, G的Sylow 3-子群(即9阶子群)的个数为1或4.
若个数为1, 该9阶子群是正规子群, 对其商群是8阶群, 二者均可解, 故G也可解.
若个数为4, 考虑一个Sylow 3-子群的正规化子H, 这是一个18阶子群.
G在集合G/H上的作用给出了一个G到S_4的同态, 且像集阶数被4整除, 又|S_4| = 24.
可知G有一个3, 9或18阶的正规子群. 但由G有4个Sylow 3-子群, 9阶子群不正规.
又18阶子群中只有1个9阶子群, 18阶子群也不正规. 故G有1个3阶正规子群.
且G对其的商群同构于S_4, 只要证明S_4是可解的.
S_4有12阶正规子群A_4, A_4以Klein群为4阶正规子群, 故S_4可解, G可解.
例子的话不清楚"由非Abel非同态群构成"是什么意思.
先举两个不同构的非Abel群的例子. 一个是D_8⊕Z_9, 一个是S_4⊕Z_3.
二者的Sylow 3-子群个数不同, 故不同构.
4. 存在. G = GL(2,R)为2阶可逆实矩阵构成的群. 取其子群H由形如
1 n
0 1
而矩阵组成, 其中n是整数.
取a =
2 0
0 1
则左陪集aH中的矩阵形如
2 2n
0 1
右陪集Ha中的矩阵形如
2 n
0 1
aH是Ha的真子集.
不太清楚你的知识基础, 逐条详细解释太过啰嗦.
如果有疑问请具体指出, 方便我有针对性的回答.

甲烷归属Td群,属中心对称群.
凡是那些电子态属于心对称的(centre symmetric)就只能跃迁到不是心对称的(centre asymmetric)态.反过来一样.
态（g) 态（g) 禁阻跃迁
态（u) 态（u) 禁阻跃迁
态（u) 态（g) 可允跃迁
态（g) 态（u) 可允跃迁
在甲烷分子,T(u)态到 A*(g)可允跃迁；A(g)到T*(u)可允跃迁;...

有限中心的?
中心限定的?
我晕