设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常数a，b∈R．

解题思路：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由于函数f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-1与x=2处有极值，可知-1，2是f′（x）=0的两个实数根，代入即可解出；
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）．利用f′（x）=0，解得x=-1，2．列出表格：即可得出极值与区间端点的函数值，经过比较即可得出最值．

（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-1与x=2处有极值，
∴-1，2是f′（x）=0的两个实数根，
∴

3−2a+b＝0
12+4a+b＝0，解得

a＝−
3
2
b＝−6．
∴f（x）=x3−
3
2x2−6x+1．
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）．
利用f′（x）=0，解得x=-1，2．
列出表格：
x [-2，-1） -1 （-1，2） 2 （2，3]
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极大值，f（-1）=[9/2]；当x=2时，函数f（x）取得极小值，f（2）=-9．又f（-2）=-1，f（3）=-[7/2]．
可得：当x=-1时，函数f（x）取得最大值[9/2]；当x=2时，函数f（x）取得最小值-9．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了利用导数研究闭区间上的连续函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

因为f（x）=x³+ax²+bx+1，所以f′（x）=3x²+2ax+b，
令x=1得f′（1）=3+2a+b．
由已知f′（1）=4，所以3+2a+b=4．即2a+b=1…①
又（1，2）是曲线f（x）=x³+ax²+bx+1上的点，得2=1+a+b+1，a+b=0…②．
解①②得．a=1，b=-1，
所以f（x）=x³+x²-x+1；
∴f′（x）=3x²+2x-1；
令f′（x）=0，即3x²+2x-1=0．解得x=-1，或x=[1/3]，
x∈（-∞，-1）函数是增函数，x∈（−1，
1
3）时函数是减函数；x∈(
1
3，+∞)，函数是增函数，
所以x=-1时函数取得绝对值，
f（-1）=（-1）³+（-1）²-（-1）+1=2．
故答案为：2．

解题思路：（1）根据已知中f（x）=x³+ax²+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f′（x），结合f′（1）=2a，f′（2）=-b，能求出a，b的值．
（2）根据g（x）=f′（x）e^-1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g′（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．

（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
令x=1，得f′（1）=3+2a+b=2a，解得b=-3
令x=2，得f′（2）=12+4a+b=-b，
因此12+4a+b=-b，解得a=-[3/2]．
（2）由（1）知g（x）=（3x²-3x-3）e^-x
从而有g′（x）=（-3x²+9x）e^-x
令g′（x）=0，则x=0或x=3
∵当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，
当x∈（0，3）时，g′（x）＞0，
当x∈（3，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）=（3x²-3x-3）e^-x在x=0时取极小值g（0）=-3，
在x=3时取极大值g（3）=15e^-3．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；导数的运算．

考点点评： 本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

解题思路：（I）求出导函数，令导函数在1处的值为1，函数经过（1，f（1）），列出方程组求出a，b的值，得到函数的解析式．
（Ⅱ）求出函数的导数，通过导数为0，求出函数的极值点，求出函数的单调区间，推出k的范围即可．

（I）函数f（x）=x³+ax²+bx+1（x∈R），a，b∈R．函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=x+4．
所以f′（x）=3x²+2ax+b，所以f′（1）=3+2a+b=1…①，函数经过（1，f（1）），即：5=1+a+b+1…②；
解①②得：a=-5，b=8；
所以函数的解析式为：f（x）=x³-5x²+8x+1．
（Ⅱ）由（1）可知f′（x）=3x²-10x+8，令3x²-10x+8=0，即x=2，x=[4/3]，当x＜
4
3时函数是增函数，[4/3≤x≤2时函数是减函数，x＞2时，函数是增函数，函数f（x）在区间(k，k+
2
3)上是单调函数，
所以k≤
2
3]或k=[4/3]或k≥2时，满足题意．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题是中档题，考查函数的导数的应用，函数的切线方程的应用，函数的单调性与单调区间的求法，考查计算能力，转化思想．常考题型．

答：递增区间为(-∞,-1)U(3,+∞),递减区间为(-1,3)
f(x) = x³ + ax² + bx + 1
f'(x) = 3x² + 2ax + b
f'(1) = 2a - 6 => 3 + 2a + b = 2a - 6 => b = -9
f'(2) = - b - 18 => 12 + 4a + b = - b - 18 => a = -3
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 1,f'(x) = 3x² - 6x - 9,f'(x) = 0 => x = -1 或 x = 3
f''(x) = 6(x - 1),f''(-1) < 0,取得极大值,f''(3) > 0,取得极小值
所以递增区间为(-∞,-1)U(3,+∞),递减区间为(-1,3)

解题思路：（1）由f′（x）=3x²+2ax+b，依题意，有

f′(1)＝3+2a+b＝2a−6 f′(2)＝12+4a+b＝−b−18

，由此能判断函数f（x）的单调性并指出相应的单调区间．
（2）由（1）知，函数f（x）当x=-1时取得极大值f（-1）=6，当x=3时取得极小值f（3）=-26．故当方程f（x）=k有三个不相等的实根时，-26＜k＜6．由此能求出方程f（x）=k有三个不相等的实根，且函数g（x）=x²-2kx+1在[-1，2]上的最小值为-23时实数k的值．

（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
依题意，有

f′(1)＝3+2a+b＝2a−6
f′(2)＝12+4a+b＝−b−18，
解得

a＝−3
b＝−9，
∴f（x）=x³-3x²-9x+1，
f′（x）=3x²-6x-9．
∵由f′（x）＞0，得x＜-1，或x＞3，
由f′（x）＜0，得-1＜x＜3，
∴f（x）在（-∞，-1）、（3，+∞）上单调递增，在（-1，3）上单调递减．
（2）由（1）知，函数f（x）当x=-1时取得极大值f（-1）=-1-3+9+1=6，
当x=3时取得极小值f（3）=27-27-27+1=-26．
∴当方程f（x）=k有三个不相等的实根时，
-26＜k＜6．
∵g（x）=x²-2kx+1=（x-k）²+1-k²，
∴当k≥2时，g（x）_min=g（2）=4-4k+1=-23，
解得k=7，与-26＜k＜6矛盾．
当-1＜k＜2时，g(x)min＝1−k2=-23，
解得k=±2
6，与-1＜k＜2矛盾．
当k≤-1时，g（x）_min=g（-1）=1+2k+1=-23，
解得k=-[25/2＞−26，
∴k=-
25
2]．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，合理利用导数的性质，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．

f(-∞)=-∞ 变化率问题 和ax2+bx比较,x^3变化的最迅速

解题思路：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式．
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，求出极值，把极值同端点处的值进行比较得到结果．

（1）f（x）=x³+ax²+bx+1，f′（x）=3x²+2ax+b
由f′（-2）=12-4a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
得a=
3
2，b=-6
经检验，a=
3
2，b=-6符合题意
∴f（x）=x³+
3
2x²-6x+1
（2）由（1）得f′（x）=3x²+3x-6=3（x+2）（x-1），
列表

x （-3，-2） -2 （-2，1） 1 （1，2）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑且f（-3）=
11
2，f（-2）=11，f（1）=−
5
2，f（2）=3
经比较可知f（x）在[-3，2]上的最大值为11，最小值为−
5
2．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查函数的最值问题，解题的关键是写出函数的极值和函数在两个端点处的值，把这些值进行比较，得到最大值和最小值，属于中档题．

解题思路：根据已知中f（x）=x³+ax²+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=-b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

（I）因为f（x）=x³+ax²+bx+1，所以f'（x）=3x²+2ax+b．…..（2分）
令x=1得f'（1）=3+2a+b．
由已知f'（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=-3．…．（4分）
又令x=2得f'（2）=12+4a+b．
由已知f'（2）=-b，所以12+4a+b=-b，解得a＝−
3
2．…..（6分）
所以f(x)＝x3−
3
2x2−3x+1，f(1)＝−
5
2．…..（8分）
又因为f′(1)＝2×(−
3
2)＝−3，…．（10分）
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y−(−
5
2)＝−3(x−1)，即6x+2y-1=0．…..（12分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．

解题思路：此题是告诉拐点，求函数中的一个未知参数．由y的方程可以看出y在整个实数域上具有二阶导数，因此在拐点处的二阶导数一定为零．另外，（-1，0）在y上．这样得到关于a和b的两个方程，就可以解出b来．

∵y′=3x²+2ax+b，y″=6x+2a
而（-1，0）是y的拐点，
∴a-b=0
y″|_x=-1=-6+2a=0
∴a=b=3

点评：
本题考点： 求函数图形的拐点．

考点点评： 此题不必遵循求函数拐点的一般方法，要根据题目中告诉的拐点以及题目的函数是三次多项式函数来寻找条件．这样会比较简单．