lim (n→∞) [(an^2+bn+c)/(2n+5)]=3,求a,b

第一道:
(1):
n>=2时,
an=Sn-S(n-1)
=an^2+bn+c-a（n-1）^2-b（n-1）-c
=2an-a+b
n=1时,
an=Sn=a+b+c
所以
an=a+b+c（n=1）
=2an-a+b（n>=2）
（2）：
先检验n>=2时的an=2an-a+b能否用于n=1
n=1 a1=a+b
显然
当c=0时,
n>=2时的an=2an-a+b能用于n=1,
此时an为等差数列
若c不等于0,
那么an从第二项开始为等差数列
综上：
c=0时,an为等差数列
c不等于0时,an从第二项开始为等差数列
第二道：
（1）：
是等差数列
证明：
n>=2时,an=Sn-S(n-1)
所以条件an+2SnS（n-1）=0代入an=Sn-S(n-1)后有
Sn-S（n-1）+2Sn*S（n-1）=0
同除Sn*S（n-1）并移项有
1/Sn-1/S(n-1)=2 (n>=2)
所以{1/Sn}为公差为2等差数列
（2）：
1/S1=1/a1=2
1/Sn=2+(n-1)*2=2n
Sn=1/(2n)
an=Sn-S(n-1)=1/(2n)-1/2(n-1)
再检验一下n=1的情况
显然不能代入,所以
an=1/2 (n=1)
=1/(2n)-1/2(n-1) (n>=2)
第三道：
(1)
“x为奇f(x+1)-f(x)=1”
令x=2n+1,代入有
f(2n+2)-f(2n+1)=1 -------------①
“x为偶f(x+1)-f(x)=3”
令x=2n+2,代入有
f(2n+3)-f(2n+2)=3 -------------②
令x=2n,代入有
f(2n+1)-f(2n)=3 ------------③
①+②有f(2n+3)-f(2n+1)=4
所以f(1),f(3)…f(2n-1)(n属于正整数）是公差为4的等差数列
(2)
①+③有f(2n+2)-f(2n)=4
所以f(2),f(4)…f(2n)(n属于正整数）也是公差为4的等差数列
下面求首项
将x=1代入f(x+1)-f(x)=1有
f(2)-f(1)=1
又f(1)+f(2)=5所以
f(1)=2
f(2)=3
所以
x=2n-1时f（x）=4n-2
x=2n时f（x）=4n-1
数列题目思路：
一、等差：
1、跟前n项和Sn有关时,用得最多的就是an=Sn-S(n-1),但要特别注意的是n>=2
2、给出an-a（n-1）的关系时,写出几项,利用叠加法消去中间项
3、给出an/a（n-1）的关系时,写出几项,利用叠乘法消去中间项
4、构造新的等差数列如1/an
二、等比：
1、叠乘法消去中间项很常用
2、构造新的等比数列如an^2等
数列题注意点：
1、等差中注意首项a1是否满足通项公式
2、等比数列不要忘了考虑等比q=1的情况（q待定时）

先假设存在
则当N=1,N=2,N=3时等式能够成立
N=1时：1*2^2=4=1*2*(a+b+c）/12
a+b+c=24
N=2时：4+2*3^2=22=2*3*(4a+2b+c)/12
4a+2b+c=44
N=3时：22+3*4^2=3*4*(9a+3b+c)/12
9a+3b+c=70
这个方程组的解是a=3 b=11 c=10
所以如果存在满足条件的a b c一定是这三个数.否则如果连前3项都不满足,一定不存在
下面证明对于一切N都成立
N=1时 该等式成立,已证
假设N=K时该等式能成立则当N=K+1时
1*2^2+2*3^2+.+k(k+1)^2+(k+1)(k+2)^2 (前K项和加在一起）
=k(k+1)(3k^2+11k+10)/12+（k+1)(k+2)^2(提取k+1)
=(k+1)(3k^3+11k^2+10k+12k^2+48k+48)/12(合并同类项）
=(k+1)(3k^3+23k^2+58k+48)/12（把两次以后的项拆开,凑一个k+2得因子出来）
=(k+1)[(3k^3+6k^2)+(17k^2+34k)+(24k+48）]（提取k+2）
=(k+1)(k+2)(3k^2+17k+24)(方法同上凑k+1因子）
=(k+1)(k+2)[(3k^2+6k+3)+(11k+11)+10]
=(k+1)(k+2)[3(k+1)^2+11(k+1)+10]
故对于一切N a=3 b=11 c=10 都能使等式成立

Sn=an^2+bn+c
Sn-1=a(n-1)^2+b(n-1)+c
作差得
An=a(2n-1)+b
这个数列是等差数列
当a不为0,且c＝0是该数列为等差数列

Sn=an^2+bn+c
an=sn-s(n-1)=2an-a+b 等差数列,必要条件成立；
数列an为等差数列,sn=(a1+an)n/2=1/2[a1+a1+(n-1)d]n=1/2[dn^2+(2a1-d)n]
明显没有c值,充分条件不成立；
故是必要不充分

证明：
充分性：
当c=0时：
an=Sn-Sn-1=(2n-1)a+b(n≥2)
a1=S1=a+b+c
所以当c=0时a1=a+b
所对于n≥1时有通项：an=(2n-1)a+b
显然an是等差数列
必要性：因为an是等差数列
又a1=S1=a+b+c
a2=S2-S1=3a+b
a3=S3-S2=5a+b
则2a2=a1+a3
得 c=0
证毕
希望可以帮到你!