y''+a^2y=e^x通解

一直独奏2022-10-04 11:39:541条回答

已提交,审核后显示!提交回复

共1条回复
michael4244 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%
令y''+a^2y=0,先解对应的齐次方程,
特征方程为:r^2+a^2=0,
r=±ai,
通解为:Y=e^(0x)(C1cosax+C2sinax)
Y=C1cosax+C2sinax,
e^x属于Ax^ke^(αx),α=1,不是特征方程的单根,故k=0,
设y*=Be^x,
y=Y+y*=C1cosax+C2sinax+Be^x,
y'=-C1asinax+C2acosax+Be^x,
y"=-C1a^2cosax-C2a^2sinax+Be^x,
-C1a^2cosax-C2a^2sinax+Be^x+a^2(C1cosax+C2sinax+Be^x)
=e^x(Ba^2+B)=e^x,
∴B=1/(1+a^2),
∴通解为:y=C1cosax+C2sinax+e^x/(1+a^2),(C1,C2是常数)
1年前

相关推荐