离散傅里叶变换（DFT）需进行N^2次乘法,N(N-1)次加法这是怎么算来的?哪位举个简单的如N=3的例子

数字图像处理的问题 关于离散傅里叶变换
左边图像乘以 (-1)x+y; (b) 计算其 DFT; (c) 进行复共轭变换; (d) 计算IDFT; (e) 对结果的实部乘以 (-1)x+y.从数学上解释为什么会得到右边的图像

离散傅里叶变换得到的频域量有什么物理意义,频率对应哪种形式的信号
比如,我用matla计算fft([1;2;3;4;5;1;2;3;4;5])
ans =
30.0000
0
-5.0000 + 6.8819i
0
-5.0000 + 1.6246i
0
-5.0000 - 1.6246i
0
-5.0000 - 6.8819i
0
1.变换后的数对应着一些离散的频率值；问题是这些频率有意义吗,这里是将有限长信号周期严拓认为原信号是周期的吗?
2.这样得出的幅值是某个频率成分的,我不明白这个频率对应的是什么样的信号啊,是三角函数的还是什么的?
3.如果是周期严拓,那么对本来就是周期函数,如果采样采了1.3个周期内的数,而不是周期的整数倍,那fft的出来的东西与采整数倍周期的fft结果差别不少吧,我觉得?
4.还有好像有这个关系，∑(x(n)).^2=∑(|X(k)|).^2/N;如果我要分析到底是哪些频率成分的信号能量占主导怎么办呢，是对幅值积分吗，这时只看单个幅值的大小（即使它比较大）不能说明问题吧？

关于有限离散傅里叶变换（DFT）的
书上是这么问的：
1.DFT 定义中,在频率域中引入了离散化(即采样),将导致什么现象产生?
2.IDFT 定义中,由于积分上下限从无穷大改为有限值,将导致什么现象产生?
补充：我们课件上讲的时候是通过将时域上有限离散序列x（n）傅里叶变换为Xs（f）后（附图中是此傅里叶变换过程）,将Xs（f）的一个周期离散化（采样）,推导出的DFT.
上面是课件上推导DFT的过程,