设 n维列向量组a1,a2,...ar线性无关 A是m*n列满秩矩阵,证明Aa1,...Aar也线性无关非常感激!

bjking20082022-10-04 11:39:541条回答

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yaoliu521 共回答了22个问题 | 采纳率95.5%: 设 (Aa1,...,Aar)X=0
则 A(a1,...,ar)X=0
因为 A列满秩,所以齐次线性方程组AX=0只有零解
所以 (a1,...,ar)X=0
因为 a1,...,ar 线性无关
所以 X=0
所以 Aa1,...,Aar 线性无关; 1年前

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A 不对!
例如:
a1=(1,0,0),a2 =(0,1,0)
b1=(0,2,0),b2=(0,0,1)
两向量组都线性无关,但不等价,谁也不能表示谁
B正确.
因为A,B等价,即A可经初等变换化成B
初等变换不改变矩阵的秩,列秩也不变
所以A,B等价,相当于说 A,B 的列秩相等,即两个向量组的秩相同
故 r(B)=r(A)=s,所以b1,b2,bs线性无关
反之,两个向量组都线性无关,且含向量组个数相同
所以 r(A)=r(B)=s
故A,B 等价.

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A 不对!
例如:
a1=(1,0,0),a2 =(0,1,0)
b1=(0,2,0),b2=(0,0,1)
两向量组都线性无关,但不等价,谁也不能表示谁
B正确.
因为A,B等价,即A可经初等变换化成B
初等变换不改变矩阵的秩,列秩也不变
所以A,B等价,相当于说 A,B 的列秩相等,即两个向量组的秩相同
故 r(B)=r(A)=s,所以b1,b2,bs线性无关
反之,两个向量组都线性无关,且含向量组个数相同
所以 r(A)=r(B)=s
故A,B 等价.

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