a1=[1 2 3],求非零向量a2,a3,使a1,a2,a3为正交向量组

设x=(x1,x2,x3)^T与a1正交
则 x1+x2+x3 = 0
所以找出这个齐次线性方程组的正交的基础解系即可.
先确定一个非零解 (1,-1,0)^T
与这个解正交的解的形式为 (1,1,x3)^T
代入方程确定x3 = -2
得 a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,1,-2)^T.
也可以先确定方程组的基础解系,再将它正交化.

第一题
是找这样两个向量,你要问怎么找的吗?
就把要找的两个向量设出来,然后建立方程组,解方程就好了啊
具体点就是找向量X,使得a1*X=0（a1是行向量,X是列向量）
（这里你要知道,两个向量正交,就是内积为零,也就是第一个向量写成行向量,第二个向量写成列向量,然后相乘=0）
所以解这个关于X的方程组就可以了,这个方程组秩为1,所以有两个无关解.解出来就行了.
第二题,可以,只要x3随便取个非零数就行了
第三题,如果一个向量是特征向量,那么和这个向量线性相关的向量都是同一个特征值的特征向量啊.
因为若：AX=入X,那么 A(aX)=aAX=a入X=入(aX)
所以aX也是特征向量
第四题,因为逆矩阵的行列式,就是原矩阵行列式的倒数啊.
证明：det(P)*det(P-1)=det(P*P-1)=det(E)=1
（利用了矩阵的积的行列式=矩阵的行列式的积）
第五题,f(入)是A的特征多项式,所以每个特征值入i都是f的根.
所以f(入i）=0
而根据对角矩阵的优良性质,f(∧)=diag（f(入1),...(入n)）=diag（0..,0)=0
就是这么来的
补充最后一个问题的回答：
f(入i)=0是因为,入i是特征根,特征根就是特征多项式的根啊!
f是特征多项式,所以入i就是f的根.那当然代入之后等于0了.所以f(入i)=0喽...

设x=(x1,x2,x3)^T 与 A1正交.
则 x1+2x2+3x3 = 0
得基础解系 b1 = (-2,1,0)^T,b2=(-3,0,1)^T
将 b1,b2 正交化:
c1 = b1
c2 = b2 - (6/5)b1 = (1/5)(-3,-6,5)^T
则 A2 = c1 = (-2,1,0)^T
A3 = (3,6,-5)^T
即为所求.