（理工类考生做） 已知函数f(x)＝kx+1x2+c（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，

解（1）2×2列联表如下

优秀 非优秀 总计
甲班 40 20 60
乙班 20 30 50
总计 60 50 110K²=
110×(40×30−20×20)2
60×50×60×50≈7.8＞6.635，
所以有99%的把握认为环保知识与专业有关（4分）
（2）不妨设3名同学为小王，小张，小李且小王为优秀，记事件M，N，R分别表示小王，小张，小李通过预选，则P（M）=[1/2]，P（N）=P（R）=[1/3] （5分）
随机变量X的取值为0，1，2，3（6分）
所以P（X=0）=P（
.
M
.
N
.
R）=[1/2]×[2/3]×[2/3]=[2/9]，
P（X=1）=P（M
.
N
.
R+
.
MN
.
R+
.
M
.
NR）=[1/2]×[2/3]×[2/3]+[1/2]×[2/3]×[1/3]+[1/2]×

点评：
本题考点： 独立性检验的应用．

考点点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合知识的合理运用．

由两个班同学的统计得到成绩与专业的列联表：

根据列联表中的数据可得
X²=40（14×13-6×7）²÷（21×19×20×20）≈4.912＞3.841
∴有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关．
故选C．

点评：
本题考点： 独立性检验．

考点点评： 本题考查独立性检验的应用，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，本题解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断，本题是一个基础题．

（1）f′（x）=
k(x2+c)-2x(kx+1)
(x2+c)2=
-kx2-2x+ck
(x2+c)2，
由题意知f′（-c）=0，即得c²k-2c-ck=0，（*）
∵c≠0，∴k≠0．
由f′（x）=0，得-kx²-2x+ck=0，
由韦达定理知另一个极值点为x=1（或x=c-[2/k]）．
（Ⅱ）由（*）式得k=[2/c-1]，即c=1+[2/k]．
当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜-2．
（i）当k＞0时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是减函数，在（-c，1）内是增函数．
∴M=f（1）=[k+1/c+1]=[k/2]＞0，m=f（-c）=[-kc+1
c2+c=
-k2
2(k+2)＜0，
由M-m=
k/2]+
k2
2(k+2)≥1及k＞0，解得k≥
2．
（ii）当k＜-2时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是增函数，在（-c，1）内是减函数．
∴M=f（-c）=
-k2
2(k+2)＞0，m=f（1）=[k/2]＜0，M-m=
-k2
2(k+2)-[k/2]=1-
(k+1)2+1
k+2≥1恒成立．
综上可知，所求k的取值范围为（-∞，-2）∪[
2，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查利用导函数来研究函数的极值以及对分类讨论思想的考查．分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一，所以希望能加强这方面的训练．

（1）成绩与专业列联表

优秀 非优秀 总计
A班 14 6 20
B班 7 13 20
总计 21 19 40根据列联表中的数据，得到
k=
40(14×13−6×7)2
21×19×20×20≈4.192＞3.841．
∴有95%的把握认为环保知识测试与专业有关．
（2）由题设知X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=

C213

C220=[39/95]，
P（X=1）=

C17
C113

C220=[91/190]，
P（X=2）=

C27

C220=[21/190]，
∴X的分布列：

X 0 1 2
P [39/95] [91/190] [21/190]EX=0×[39/95]+1×[91/190]+3×[21/190]=[133/190]．

点评：
本题考点： 独立性检验；茎叶图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．

考点点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合知识的合理运用．