用不动点法求数列通项的原理是什么?用不动点法求数列通项的原理是什么?

不可能 不动点要求an+1=(aan+b)/(can+d) abcd都不能和n有关
b 2b^2/(b+2) 3b^3/(b^2+2b+4) 4b^4/(b^3+2b^2+4b+8)
所以可以猜测an=nb^n/(b^(n-1)+2b^(n-2)+.)
an+1=(n+1)ban/(an+2n)
=[(n+1)nb^(n+1)/(b^(n-1)+2b^(n-2)+.)]/[nb^n/(b^(n-1)+2b^(n-2)+.)+2n]
=(n+1)b^(n+1)/(b^n+2b^(n-1)+.)
证毕!

不动点就是最终数列收敛到同一个点,因此令an=an+1=x代入式子,并解出根a,b.
令bn=(an-a)/(an-b)再代入原式,可得出关于bn的式子,并求出.

通过构造出常见的能求出来的数列,比如等比等差数列,或者可以进行特征方程的数列通常bn=xan yn z 构造出bn数列是老师讲的那种类型的就可以了这个当然要多

以后学了高等数学就明白了,不动点大多用于极限过程.如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式,微分方程初值问题解的存在唯一性定理,都是利用不动点理论证明的.
至于你的这个问题,是数列的计算技巧问题.这里利用特征根（也就是解得的不动点）可以把数列的通项公式写出来,进而得到周期.可以参看任何一本组合数学的书.由于数列是分式线性变换的迭代,可以和二阶矩阵的乘幂对应,所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解,都是类似的想法.——这就是这个题目背后的数学内容
具体的内容大概写起来很长,建议你去查书,组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分.
对于高中生,当然可以从更自然的角度去看这个问题：递推公式可以通过适当的变换,转化为（一个或两个）等比数列求解.

如果你对了 不扣分
如果你错了 扣步骤分的
慎重应用二级定理

不动点的典型例题：
设f(x）=（12x^2+16)/(x^3+12x) a(n+1)=f（a（n）） a（1)=3 求an的通项公式
特征根的变式提：
已知a+b+c=3,ab+ac+bc=-13,abc=-15,求a³+b³＋c³

下面举题
例如
对于函数f(x),若有f(x)=x则称x为该函数的"不动点",若f[f(X)]=x则称x为该函数的"稳定点".如果函数f(X)的"不动点"和"稳定点"分别记为集合A和B.怎么证明A包含于B 若f(X)=aX2-1且A=B不等于空,求a的范围.
注意:aX2是a倍x的2次方
若x是不动点,那么有
f(x)=x
所以f(f(x))=f(x)=x
所以x也是稳定点,
所以A包含于B．
由题目知
ax^2-1=x与a(ax^2-1)^2-1=x
同解．
首先A不为空,即
ax^2-x-1=0是有解的,
所以△=1+4a≥0
即a≥-1/4
其次
对于x=a(ax^2-1)^2-1
有
x=a^3x^4-2a^2x^2+a-1
由于A=B
因此将
ax^2-1=x
代入得：
ax^2-1=a^3x^4-2a^2x^2+a-1
所以
a^3x^4-(2a^2+a)x^2+a=0
所以
a^2x^4-(2a+1)x^2+1=0是没有解的
因为如果有解,则会出现不满足A的x
所以
△＝(2a+1)^2-4a^2=4a-3

递推式：
a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)
（n∈N*,A,B,C,D为常数,C不为0,AD-BC不为0,a1与a2不等）
其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)
特征方程的根称为该数列的不动点
这类递推式可转化为等差数列或等比数列
1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β,则有：
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))
其中k=(A-α*C)/(A-β*C)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
α不等于β
(D-A)^2+4*B*C不等于0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
C*α^2-A*α=B-α*D
a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))
由
(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))
得
an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)
2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α,则有
1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k
其中k=(2*C)/(A+D)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
α=(A-D)/(2*C)
a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α))
=1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C)))
=1/(an-α)+(2*C)/(A+D)
由
1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)
an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α
以上即是证明过程……
至于更进一步的原理,涉及到高等数学的知识,就不仔细解释了……

高中的数列对学生的要求不会太高的,所以不用担心
只需做多习题积累经验就是
例如添项的
an=2a(n-1)+1
→an=2[a(n-1)+1]-1
→an+1=2[a(n-1)]类似的最为常见

上面的这道题就是通过转化,凑陪的
解题当然掌握很多方法很重要,但是不要拘泥于某些方法.有些题目的技巧性很强,不是用某种方法就能解答的

同一数列的表达是可能有很多,只要意义一样就可以,也许还可以化简.

第一篇是我总结的,第二篇是百度搜的,你自己参考一下吧.

那个就是像老师讲的一样用那个套路去求通项，至于原理我去查过竞赛书但是也没见过呢。

只能解这一类题,不过有的时候不一定要用不动点法,特殊的时候可以取倒数
比如a(n+1)=an/(2an+1),a1=1,an=?
取倒数1/a(n+1)=(an+1)/an=1+1/an,所以数列{1/an}是以公差为1的等差数列
1/an=1+(n-1)=n,an=1/n
可以用的情况,我随便举一个题
a(n+1)=(an+3)/(an-1),a1=1,an=?
a(n+1)+x=(an+3)/(an-1)+x=[an+3+x(an-1)]/(an-1)=[(x+1)an+(3-x)]/(an-1)
=(x+1)[an+(3-x)/(x+1)]/(an-1)
令x=(3-x)/(x+1),解得x=-3或x=1.所以
a(n+1)-3=-2(an-3)/(an-1)
a(n+1)+1=2(an+1)/(an-1)
两式相除
[a(n+1)-3]/[a(n+1)+1]=-(an-3)/(an+1)=(-1)^n(a1-3)/(a1+1)=(-1)^(n+1)
再求出a(n+1)近而得到an,这个我不算了,解法就是这样
如果刚才的那种方程有等根
那么就能构造出一个等差数列,直接求就行

一个数列在极限不存在时,就不能用不动点解决!,用不动点求数列是牛顿发明的,其原理如下：不动点是使 f(x) = x 的 x值 ,设不动点为x0,则 f(x0) - x0 =0 ,即 x是 f(x) - x0 =0 的根,所以f(x)- x0 因式分解时有 x-x0 这...

形如a(n+1)=[Aa(n)+B]/[Ca(n)+D]的都可以；
其实很多数列都可以解出不动点来试试的……

以后学了高等数学就明白了,不动点大多用于极限过程.如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式,微分方程初值问题解的存在唯一性定理,都是利用不动点理论证明的.至于你的这个问题,是数列的计算技巧问题.这里利用特征根（也就是解得的不动点）可以把数列的通项公式写出来,进而得到周期.可以参看任何一本组合数学的书.由于数列是分式线性变换的迭代,可以和二阶矩阵的乘幂对应,所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解,都是类似的想法.——这就是这个题目背后的数学内容 具体的内容大概写起来很长,建议你去查书,组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分.对于高中生,当然可以从更自然的角度去看这个问题：递推公式可以通过适当的变换,转化为（一个或两个）等比数列求解.网上找到一篇文章,就是讲线性递推和分式线性递推数列的,http://www.***.com/fmpic/atta3426.doc