求m的平方＋m+7是完全平方数的所有整数m的积

已经有人问过一遍,原文如下：（略有修改）
设m^2+m+7=k^2
所以m^2+m+1/4+27/4=k^2
所以(m+1/2)^2+27/4=k^2
所以(m+1/2)^2-k^2=-27/4
所以(m+1/2+k)(m+1/2-k)=-27/4
所以[(2m+2k+1)/2][(2m-2k+1)/2]=-27/4
所以(2m+2k+1)(2m-2k+1)/4=-27/4
所以(2m+2n+1)(2m-2k+1)=-27
因为k>0(因为k^2为完全平方数）,且m与k都为整数
所以① 2m+2k+1=27 2m-2k+1=-1 得：m=6,k=7
②2m+2k+1=9 2m-2k+1=-3 得：m=1,k=3
③2m+2k+1=3 2m-2k+1=-9 得：m=-2,k=3
④2m+2k+1=1 2m-2k+1=-27 得：m=-7,k=7
所以所有m 的积为6×1×(-2)×(-7)=84
原作者为玄风·舞 - 经理 五级
原文出处如下

设m^2+m+7=n^2,则m^2+m+7-n^2=0,
由题意得:根的判别式=1-28+4n^2=4n^2-27是完全平方数.
设4n^2-27=b^2,则有以下方程(2n+b)(2n-b)=27.
它的整数解为n=7,-7,3,-3(这里可以求出b),
又因为4n^2-27不小于0,所以以上解均符合题意,
所以有m^2+m-42=0或m^2+m-2=0,...

有这样的m吗