柯西收敛准则:limf(x) lim下面是x趋向于a- 叙述这个的Cauchy收敛准则,并证明其必要性!

g4g34g3g2022-10-04 11:39:542条回答

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bergsoRRy 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%
极限lim(x→a-)f(x)存在的充分必要条件为对任意ε>0,存在δ>0,使得对任意x'、x"∈U°-(a,δ),都有|f(x')-f(x")|<ε.
必要性的证明:设极限lim(x→a-)f(x)存在,值为A.则对任意ε>0,存在δ>0,当x∈U°-(a,δ)时,有|f(x)-A|<ε/2.从而对任意x'、x"∈U°-(a,δ),都有|f(x')-A|<ε/2,|f(x")-A|<ε/2,从而|f(x')-f(x")|=|(f(x')-A)-(f(x")-A)|≤|f(x')-A|+|f(x")-A|<ε.
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提笼架鸟花天酒地 共回答了27个问题 | 采纳率
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不可以,首先柯西准则中说"使得任意n,m>N时",是指对每一个m和n都成立,你设m=n+1的话,就限定了m和n之间的关系,而这个关系在准则的条件里是找不到的,你这样做是把准则的条件加强了,通常合理的做法是令m=n+p(p是正整数),这样可以保证m和n的任意性.另外你写的“limXn=XN+1”这个式子是没有意义的,极限存在的话只能是一个常数,而不会是变量,说一个序列的极限等于一个变量是不合法的.
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若级数an(n从1到无穷)收敛,数列bn收敛,证明级数anbn(n从1到无穷)收敛,提示说用柯西收敛准则,但我证不出来……
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这题明显少条件,如果bn是单调的就可以了.否则结论不成立.
反例:an=(-1)^n/n^(1/2),级数an收敛.
bn=(-1)^n/n^(1/2),数列bn收敛于0,但
级数anbn=级数1/n是发散的.
题目条件等价于级数(bn-b(n-1))是绝对收敛的,这就足够了.
证明得用到Abel分部求和公式:
记a1+...+ak=Sk,则a1b1+...+akbk
=Skbk-【S1(b1-b2)+S2(b2-b3)+...+S(k-1)(b(k-1)-bk)】 (*).
注意到条件能得到Sk有极限,bk有极限,且由于Sk有极限故有界,因此
级数(Sk(bk-b(k+1))是绝对收敛的当然也是收敛的,因此(*)式
当k趋于无穷时是有极限的,即级数anbn是收敛的.
ps:你可以自己用Cauchy收敛原理去证,当然还是得用上面的Abel分部求和.
证明过程类似,不过注意到Sk不是从级数an的第一项开始相加了.
自己试一下吧.