设f(x)＝6cos2x−23sinxcosx；

解题思路：（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角和的余弦公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）型函数，再利用周期公式求函数的最小正周期，利用余弦函数图象性质，通过解不等式可得函数的单调增区间
（Ⅱ）先由函数的图象变换法则得函数y=g（x）的解析式，从而确定函数F（x）的解析式，再求函数F（x）的导函数F′（x），最后由导数的几何意义求出F（x）在x＝

π

4

处的切线斜率，即可得切线方程

（Ⅰ）f(x)＝6
(1+cos2x)
2−
3sin2x＝2
3cos(2x+
π
6)+3，
故f（x）的最小正周期T=π
由−π+2kπ≤2x+
π
6≤2kπ得f（x）的单调递增区间为[kπ−
7π
12，kπ−
π
12](k∈Z)．
（Ⅱ）由题意：g(x)＝2
3cos[2(x−
π
3)+
π
6]+3＝2
3sin2x+3，
∴F(x)＝
g(x)−3
2
3x＝
sin2x
x，F′(x)＝
2xcos2x−sin2x
x2，
因此切线斜率k＝F′(
π
4)＝−
16
π2，
切点坐标为(
π
4，
4
π)，
故所求切线方程为y−
4
π＝−
16
π2(x−
π
4)，
即16x+π²y-8π=0．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题考察了二倍角公式，两角和的余弦公式，三角函数的图象和性质，导数的四则运算，导数的几何意义等基础知识