xy>0,证xy+1/xy+x/y+y/x>=4

xy>0
所以xy+1/xy>=2根号(xy*1/xy)=2
当xy=1/xy
即xy=1时取等号
xy>0,所以x/y>0,y/x>0
所以x/y+y/x>=2根号(x/y*y/x)=2
当x/y=y/x
即x=y时取等号
两者结合x=y且xy=1时,两个等号都能取
此时x=y=1
即两个等号能同时取到
所以xy+1/xy>=2,x/y+y/x>=2
所以xy+1/xy+x/y+y/x>=4

简单,用的原理是a^2+b^2>=2ab
xy+1/xy>=2
x/y+y/x>=2
两个叠加

基本思想:
使用不等式a+b>=2sqr(ab) a,b>=0 sqr代表根号
xy>0
所以
xy+1/xy>=2sqr(xy*(1/xy))=2...1
x/y>0
所以
x/y+y/x>=2...2
1+2得:xy+1/xy+x/y+y/x>4
当x=y=1或x=y=-1时,xy+1/xy+x/y+y/x=4
综上:xy+1/xy+x/y+y/x>=4