设A是n阶非零实矩阵,且A*=AT,证明:A是可逆矩阵

fishblue10172022-10-04 11:39:541条回答

设A是n阶非零实矩阵,且A*=AT,证明:A是可逆矩阵
看了网上的解答,不明白为什么|A| = ai1^2+ai2^2+...+ain^2,等号右边难道不只是(AAT)的一个元素吗?

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persha 共回答了19个问题 | 采纳率78.9%
AA^*=|A|E说明AA^*的第一行第一列元素等于|A|E的第一行第一列的元素,而|A|E的第一行第一列的元素为|A|,而AA^*的第一行第一列的元为a11^2+a12^2+...+a1n^2,其他可类似得出,所以|A| = ai1^2+ai2^2+...+ain^2,i=1,2,……n
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(2009•闸北区一模)设f(x)=2cos2x+3sin2x,g(x)=12f(x+5π12)+x+a,其中a为非零实
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3
sin2x
g(x)=
1
2
f(x+
12
)+x+a
,其中a为非零实常数.
(1)若f(x)=1−
3
x∈[−
π
3
π
3
]
,求x;
(2)试讨论函数g(x)在R上的奇偶性与单调性,并证明你的结论.
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(2)先求出函数g(x)的解析式,再通过讨论a得到其奇偶性,并通过举例得到其单调性即可.

(1)由已知f(x)=2cos2x+
3sin2x=1+2sin(2x+
π
6),(2分)
由1+2sin(2x+
π
6)=1−
3得:sin(2x+
π
6)=−

3
2,(1分)
∵−
π
3≤x≤
π
3,−
π
2≤2x+
π
6≤

6(1分)
∴2x+
π
6=−
π
3,x=−
π
4.(2分)
(2)由已知,得g(x)=x−sin2x+a+
1
2,(2分)
①∵当a=−
1
2时,对于任意的x∈R,总有g(-x)=-x-sin(-2x)=-(x-sin2x)=-g(x),
∴g(x)是奇函数.(2分)(没有过程扣1分)
②当a≠−
1
2时,∵g(
π
2)≠±g(−
π
2)或g(π)≠±g(-π)等
所以,g(x)既不是奇函数,又不是偶函数.(2分)(没有过程扣1分)
∵g(0)>g(
π
6),故g(x)不是单调递增函数,(1分)
又∵g(
π
6)<g(
π
2),故g(x)不是单调递减函数.(1分)
∴g(x)既不是单调递减函数,也不是单调递增函数. (没举反例扣1分)
注:用求导的方

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=-(ai1)²-(ai2)²-(ai3)²
≠0
AA*=|A|E
-AA^T=|A|E
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A为非零矩阵 所以A的秩>0
假设A不可逆 则A的秩=r(A)+r(B)-n可知 0=r(|A|E)=r(A*A)>=r(A*)+r(A)-n
=r(A*)-1 从而r(A*)0 从而r(A*)=1 于是r(AT)=r(A)=r(A*)=1 从而n=2 这个时候验证一下就知道不存在这样的A
(2)A的秩 r(A)
证明x1、X2分别为关于x的二次方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个非零实根
证明x1、X2分别为关于x的二次方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个非零实根
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如果(a/2)x2+bx+c=0必有一根在x1与x2之间
则(ax1^2/2+bx1+c)(ax2^2/2+bx2+c)
设x1、x2分别为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个非零实根,且x1不等于x2,求证
设x1、x2分别为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个非零实根,且x1不等于x2,求证:方程ax2/2+bx+c=0必有以根在x1与x2之间。
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则必有y1=ax的2次方+bx+c,y2=ax的2次方+bx+c
那么从图象上看,y=y1,y=y2是一条平行于x轴的直线
它们与f(x)有交点
由于对称性,则方程y1=ax的2次方+bx+c的两个解x1,x2要关于直线x= -b/2a对称
也就是说2(x1+x2)= -b/2a
同理方程y2=ax的2次方+bx+c的两个解x3,x4也要关于直线x= -b/2a对称
那就得到2(x3+x4)= -b/2a,
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也就是1,4为一个方程的解,2,3为一个方程的解
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所以 |A|=0 或 |A|=1 (n是奇数)
再由 A^T=A* 两边左乘A 得 AA^T=AA*=|A|E
所以AA^T中第i行第i列元素为 ai1^2+...+ain^2 = |A|
由已知A≠0,且A是实方阵
所以 |A|≠0
故 |A|=1
所以i=1时有 a^2+...+a^2=|A|=1
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则A*的特征值为|A|/x=1/x
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...
好像证明不了是正定
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满足A*=AT
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又|A*|=|A|^(n-1)
所以|A*|=|A^T|=|A|=|A|^(n-1)
故 (|A|-1)|A|^(n-1)=0
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