球的内接正三棱锥的侧棱两两垂直,长度分别为1,2,3,则该球体积为?

设球的内接正三棱锥为P—ABC,则P、A、B、C都在球面上,由对称性可知棱锥的高PD经过球心O,设正三棱锥的底面边长为a,高PO=h.则
AD=2/3*√3/2a=√3/3a
延长PD交球于E,则∠PAE=90°,AD⊥PE.由AD2=PD•DE得1/3a2=h(2R－h) ∴a2=3h(2R－h)
V=1/3S⊿ABC*h=1/3*√3/4a^2h=1/3*√3/4*3h^2(2R-h)= √3/4h^2(2R-h)
=√3/8[h*h(4r-h)]≤√3/8*(4R/3)^3=8√3/27R^3
当且仅当h=4R－2h 即h=4/3R时上式等号成立.
故当正三棱锥的高为4/3R时,有最大体积8√3/27R^3

根据已知条件,如图：
△ABC为正三角形
∴AB=12√3
∴O"A=(AB/2)/cos30=12
即：O"N=O"A=12(同圆上半径)
P为球心,依题意,PM=PN=15(大圆半径)
在 △PN"O中,PN=15;O"N=12
∴PO"=9(勾股定理)
∴O"O=OP+PO"=9+15=24
即高为24
∴三棱锥体积
v=(1/3)sh
v=(1/3)×(108√3)×24 (边长为12√3的正三角形,面积为108√3)
v=864√3