若X1、X2、X3、为齐次线性方程AX=0的一个基础解系,为什么X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3也是它的基础解系

浪漫狂人2022-10-04 11:39:541条回答

若X1、X2、X3、为齐次线性方程AX=0的一个基础解系,为什么X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3也是它的基础解系?

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libin2455 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%: 证明:(1) 因为齐次线性方程组的解的线性组合仍是解
所以 X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3 都是AX=0的解.
(2) 设 k1(X1+X2)+k2(X2-X3)+k3(X1+X2+X3)=0
则 (k1+k3)X1+(k1+k2+k3)X2+(-k2+k3)X3=0.
因为X1,X2,X3为齐次线性方程AX=0的一个基础解系
所以 X1,X2,X3 线性无关.
所以有
k1+k3 = 0
k1+k2+k3 = 0
-k2+k3 = 0
又因为系数行列式 =
1 0 1
1 1 1
0 -1 1
= 1
所以 k1=k2=k3=0.
所以 X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3 线性无关.
(3)因为AX=0的基础解系含3个向量
故X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3也是AX=0的基础解系.; 1年前

线性代数——线性方程的解得判断1.对于非齐次线性方程Ax=b,A是m*n阶矩阵,设R（A）=r,判断下列说法的正确与否并 线性代数——线性方程的解得判断 1.对于非齐次线性方程Ax=b,A是m*n阶矩阵,设R（A）=r,判断下列说法的正确与否并给出理由 （1）r=m时,方程组有解 （2）r=n时,方程组有唯一解 2.A是m*n阶矩阵,Ax=0是Ax=b对应的齐次线性方程,判断正误并说明理由 若Ax=0仅有0解,则Ax=b有唯一解 月光夜下的女人1年前1: 黎琪共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

第1题第（1）个答案正确；第（2）个答案错,正确说法是：当R（A）=R(A|B)=r=n时,方程组有唯一解.
——————————
第2题错,原因同第1题第（2）答案.正确说法是：当R（A）=R(A|B)且Ax=0仅有0解时,方程组有唯一解.

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解齐次线性方程AX=B,A(mxn),X为n元,当R(A) kiti001年前2: congzhaobin 共回答了20个问题 | 采纳率85%

解齐次线性方程AX=0,
当R(A)

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3元非齐次线性方程Ax=b,秩r(A)=2,有3个解向量a1,a2,a3,a2-a3=(1,0,0)^T,a1+a2=( 3元非齐次线性方程Ax=b,秩r(A)=2,有3个解向量a1,a2,a3,a2-a3=(1,0,0)^T,a1+a2=(2,4,6)^T, 则Ax=b的一般解形式为 haoaini701378971年前1: searchance 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

3元非齐次线性方程组 Ax=b,秩 r(A)=2,则
导出组即对应的齐次方程组 Ax=0 有 3-2=1个基础解系,
Ax=b 有3个解向量 a1,a2,a3,则
Aa1=b,Aa2=b,Aa3=b,A(a2-a3)=0
则 a2-a3 = (1,0,0)^T 就是 Ax=0 的基础解系.
A(a1+a2)/2=b,则 (a1+a2)/2=(1,2,3)^T,就是 Ax=b 的特解.
则 Ax=b 的一般解是 x=(1,2,3)^T+k (1,0,0)^T,
其中k为任意常数.

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设相量a1 a2 a3都是非齐次线性方程AX=B的解,且数k1 k2 k3满足k1+k2+k3=1,则相量k1a1+k2 设相量a1 a2 a3都是非齐次线性方程AX=B的解,且数k1 k2 k3满足k1+k2+k3=1,则相量k1a1+k2a2+k3a3是什么方程组的解 aasseerr1年前1: 川娃娃共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

这样来想,
A*(k1a1+k2a2+k3a3)
=k1*Aa1+k2*Aa2+k3*Aa3
a1 a2 a3都是非齐次线性方程AX=B的解
所以
Aa1=Aa2=Aa3=B,
那么
A*(k1a1+k2a2+k3a3)
=k1*Aa1+k2*Aa2+k3*Aa3
=k1B+k2B+k3B
=(k1+k2+k3)B
而k1+k2+k3=1,
所以
A*(k1a1+k2a2+k3a3)=B,
即向量k1a1+k2a2+k3a3是就是方程组AX=B的解

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设A为m*n矩阵,B为n*K矩阵,AB=0,用分块法证明B的k个列是齐次线性方程AX=0的解 gylsj1年前1: 无名小山共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

把B分块,每列一个块,B = (b1,b2,...,bk)
所以有 AB = A(b1,b2,...,bk) = (Ab1,Ab2,...,Abk)=0
所以 Abi = 0,i=1,2,...,k
即 bi 是 AX=0 的解,i=1,2,..,k
也即B的k个列是齐次线性方程AX=0的解.

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设a0是非齐次线性方程AX=B的解向量,a1,a2,a3.as是其导出组AX=O的基础解系,则a0,a1,a2,a3.a 设a0是非齐次线性方程AX=B的解向量,a1,a2,a3.as是其导出组AX=O的基础解系,则a0,a1,a2,a3.as必线性______? 我觉得a0,a1,a2,a3.as是线性无关的,而a0可以由a0,a1,a2,a3.as线性表示,所以a0,a1,a2,a3.as必线性相关,可标准答案是线性无关.为什么? 帆影1年前1: zengmingzengming 共回答了26个问题 | 采纳率96.2%

因为a1,a2,……,ar是AX=0的基础解系,所以
a1,a2,……,ar线性无关
假设a0,a1,……,ar线性相关
所以
a0能由a1,a2,……,ar唯一表示
因为a1,a2,……,ar是AX=0的解
从而
a0是AX=0的解
与a0是非齐次方程组AX=b的一个解矛盾,所以
假设不成立,结论成立.

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已知四元非齐次线性方程Ax=b的三个解为h,j,k;其中h=(1,1,1,1)^T,j+k=(2,3,4,5)^T,秩R 已知四元非齐次线性方程Ax=b的三个解为h,j,k;其中h=(1,1,1,1)^T,j+k=(2,3,4,5)^T,秩R（A）=3；则对应的齐次线性方程组Ax=0的通解为多少? 爱尔岚咖啡1年前1: 粉蓝Les 共回答了18个问题 | 采纳率83.3%

一直在上课,看到你又问问题了.
下面详细解答
①R(A)=3,所以Ax=0的基础解系中只有一个非零解.所以求其通解,只需求出一个非零解即可.
②依题意,
Ah=b
A(j+k)=2b
∴ A(j+k)-2Ah=2b-2b=0
即
A(j+k-2h)=0

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设A为m×n矩阵，B为s×n矩阵，且齐次线性方程AX=0的解都是BX=0的解，求证B的行向量组必可由A的行向量组线性表示 设A为m×n矩阵，B为s×n矩阵，且齐次线性方程AX=0的解都是BX=0的解，求证B的行向量组必可由A的行向量组线性表示． 卯合1年前1: 显示器LCD 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

解题思路：首先，由齐次线性方程AX=0的解都是BX=0的解，得到BX=0的每一个方程都可以表示成AX=0的m个方程的线性组合；然后，再根据向量组间的线性表示，得到β_j=k_1jα₁+k_2jα₂+…+k_mjα_m，从而证明结论．
由题意，设A＝

α1
α2
⋮
αm，B＝

β1
β2
⋮
βs
由齐次线性方程AX=0的解都是BX=0的解，知
BX=0的每一个方程都可以表示成AX=0的m个方程的线性组合
即B的每一个行向量可以表示成A的行向量的线性组合
即β_j=k_1jα₁+k_2jα₂+…+k_mjα_m（j=1，2，…，s）
∴（β₁，β₂，…，β_s）=（α₁，α₂，…，α_m）（k_ij）_m×s
∴B的行向量组必可由A的行向量组线性表示

点评：
本题考点：线性表示的充要条件．

考点点评：此题考查线性方程组的解与向量组间的线性表示关系．一般要证明向量组B由向量组A线性表示，可以用：①存在矩阵C，使得B=AC；矩阵方程AX=B有解；③r（A）=r（A，B）．

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设A是3*4矩阵,且r（A）=3,已知n1,n2,n3是非齐次线性方程AX=B的解向量,且n1+n2=（1,2,-1,1 设A是3*4矩阵,且r（A）=3,已知n1,n2,n3是非齐次线性方程AX=B的解向量,且n1+n2=（1,2,-1,1）T ,n2+n3=（2,1,2,1）,求AX=B的通解? 飞戈1年前3: 123881688 共回答了18个问题 | 采纳率83.3%

因为 r(A)=3
所以 AX=0 的基础解系含 4-r(A)=1 个解向量.
又因为 n1,n2,n3是AX=B的解
所以
(1/2)(n1+n2)=(1/2,1,-1/2,1/2)^T 是AX=B的解
n1-n3=(n1+n2)-(n2+n3)=(-1,1,-3,0)^T 是 AX=0 的基础解系.
所以 AX=B 的通解为:(1/2,1,-1/2,1/2)^T+c(-1,1,-3,0)^T.

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若X1、X2、X3、为齐次线性方程AX=0的一个基础解系,则（）是它的基础解系? 若X1、X2、X3、为齐次线性方程AX=0的一个基础解系,则（）是它的基础解系? A、X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3 B、X1-X3,X2-X1,X3-X2；C、X1,X2-X3；D、X1+X2；X2+X3；X3+X1；X1+X2+X3 dtstst1年前2: xinxinxiaoyu 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%

这个有点简单,发挥不出来,嘿嘿
(C),(D) 向量个数不是3个,不是
(B) (X1-X3)+(X2-X1)+(X3-X2) = 0,所以线性相关,也不对
那就只有(A)正确了.

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