X是局紧的Hausdorff空间,X上的每个线性泛函连续的充要条件是X是有限维的必要性怎么证明

如果没说X是Banach空间,那么我不太清楚什么是X上的“线性”泛函,因为X本身没有线性结构.如果X本身是Banach空间,X局部紧,就说明原点周围有个球是紧的,而无穷维的Banach空间中的单位球不是紧的.
我想你这个题里的空间可能没有预先说是一个Banach空间,但应该是个线性空间.如果一个Banach空间的“每个”线性泛函都是连续的,那么它就必须是有限维的,从而是局部紧的.也就是说,对于Banach空间来讲（总是Hausdorff的）,以下三条中是等价的,即任意一条可以推出另外两条（而不是必须有其中两条才能推出剩下的一条）：
1、X局部紧；
2、X上的每个线性泛函连续；
3、X是有限维的.
我的想法可能有点乱.抱歉.