f(x)=x3+bx2+cx 而g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数 则b=?c=?

由f（x）=x³+bx²+cx，所以f′（x）=3x²+2bx+c．
由导函数的图象可知，当x∈（-∞，1），（2，+∞）时f′（x）＞0，
当x∈（1，2）时f′（x）＜0．
所以函数f（x）的增区间为（-∞，1），（2，+∞）
减区间为（1，2）．
则函数f（x）在x=1时取得极大值，在x=2时取得极小值．
由此可知（1）不正确，（2），（4）正确，
把（1，0），（2，0）代入导函数解析式得

3+2b+c＝0
12+4b+c＝0，解得c=6．
所以（3）正确．
故答案为（1）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的单调性与导函数的符号之间的关系，是中档题．

（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，
由奇函数定义得b=3；
（2）由（1）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，
当g'（x）＞0时，x＜-
2或x＞
2，
当g'（x）＜0时，-
2＜x＜
2，
由此可知，（-∞，-
2）和（
2，+∞）是函数g（x）的单调递增区间；（-
2，
2）是函数g（x）的单调递减区间；

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间

（1）f′（x）=3x²+2bx+c，又∵l₁⊥l₂，
∴f′（-1）•f′（1）=-1
即（3+2b+c）（3-2b+c）=-1①
∵α，β是3x²+2bx+c=0的两根，∴α+β=−
2b
3，αβ=[c/3]
又∵|α-β|=

10
3，∴|α-β|²=（α+β）²-4αβ=
4b2
9−
4c
3＝
10
9②
由①②得

c＝0
b＝±

10
2或

c＝6
b＝±

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数与方程的综合运用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，
由奇函数定义得b=3；
（2）由（1）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，
当g'（x）＞0时，x＜-
2或x＞
2，
当g'（x）＜0时，-
2＜x＜
2，
由此可知，（-∞，-
2）和（
2，+∞）是函数g（x）的单调递增区间；（-
2，
2）是函数g（x）的单调递减区间；

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间

（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，
由奇函数定义得b=3；
（2）由（1）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，
当g'（x）＞0时，x＜-
2或x＞
2，
当g'（x）＜0时，-
2＜x＜
2，
由此可知，（-∞，-
2）和（
2，+∞）是函数g（x）的单调递增区间；（-
2，
2）是函数g（x）的单调递减区间；

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间

（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，
由奇函数定义得b=3；
（2）由（1）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，
当g'（x）＞0时，x＜-
2或x＞
2，
当g'（x）＜0时，-
2＜x＜
2，
由此可知，（-∞，-
2）和（
2，+∞）是函数g（x）的单调递增区间；（-
2，
2）是函数g（x）的单调递减区间；

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间

（Ⅰ）由f（x）=x³+bx²+cx，得f′（x）=3x²=2bx+c，
∵曲线f（x）=x³+bx²+cx在点A（-1，f（-1）），B（3，f（3））处的切线互相平行，且函数f（x）的一个极值点为x=0，
∴

f′(-1)=f′(3)
f′(0)=0，即

3-2b+c=27+6b+c
c=0，解得：

b=-3
c=0．
∴实数b，c的值分别为-3，0；
（Ⅱ）由f（x）=x³-3x²，∴f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）＞0，得x＜0或x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2．
∴函数f（x）在区间[-
1
2，0)，（2，3]上递增，在（0，2）上递减．
且f(-
1
2)=(-
1
2)3-3×(-
1
2)2=-
7
8，f（0）=0，f（2）=2³-3×2²=-4，f（3）=3³-3×3²=0．
∴函数y=f（x）（x∈[-[1/2]，3]）的图象与直线y=m恰有三个交点，则-
7
8≤m＜0．
故所求实数m的取值范围是[-
7
8，0)．
（Ⅲ）依题意知存在x₀∈[1，e]，使得[1/6]f′（x₀）+alnx₀≤ax₀成立，即
1
2x0

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数在某点取得极值的条件，考查了数学转化思想，此题的难点在于把存在x0∈[1，e]，使得[1/6]f′（x0）+alnx0≤ax0成立转化为一个函数的最小值小于等于0，考查了学生灵活分析和处理问题的能力．此题属难题．

由f（x）=x³+bx²+cx，得
f′（x）=3x²+2bx+c，则
g（x）=f（x）-f′（x）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c，
∵g（x）是奇函数，
∴g（0）=-c=0，c=0．
∴g（x）=x³+（b-3）x²-2bx．
由g（-1）=-1+b-3+2b=3b-4，
-g（1）=-1-b+3+2b=b+2．
g（-1）=-g（1）得：3b-4=b+2，b=3．
∴b=3，c=0．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；导数的运算．

考点点评： 本题考查了导数的运算，考查了函数的奇偶性的性质，是基础题．

（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，
由奇函数定义得b=3；
（2）由（1）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，
当g'（x）＞0时，x＜-
2或x＞
2，
当g'（x）＜0时，-
2＜x＜
2，
由此可知，（-∞，-
2）和（
2，+∞）是函数g（x）的单调递增区间；（-
2，
2）是函数g（x）的单调递减区间；

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间

（1）f′（x）=3x²+2bx+c
因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，
所以−
2b
6＝2，于是b=-6
（2）由（Ⅰ）知，f（x）=x³-6x²+cx
f′（x）=3x²-12x+c=3（x-2）²+c-12
（ⅰ）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值．
（ii）当c＜12时，f′（x）=0有两个互异实根x₁，x₂．
不妨设x₁＜x₂，则x₁＜2＜x₂．
当x＜x₁时，f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，x₁）内为增函数；
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x₁，x₂）内为减函数；
当x＞x₂时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x₂，+∞）内为增函数．
所以f（x）在x=x₁处取极大值，在x=x₂处取极小值．
因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x=x₂处存在唯一极小值，所以t=x₂＞2．
于是g（t）的定义域为（2，+∞）．
由f′（t）=3t²-12t+c=0得c=-3t²+12t．
于是g（t）=f（t）=t³-6t²+ct=-2t³+6t²，t∈（2，+∞）．
当t＞2时，g′（t）=-6t²+12t=6t（2-t）＜0
所以函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，
故g（t）的值域为（-∞，8）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的定义域及其求法；函数的值域．

考点点评： 考查学生利用导数求函数函数的单调性及确定函数极值存在位置的能力，以及利用导数求函数最值的能力．利用导数研究函数的单调性是函数的一个极其重要的应用，它大大简化了证明单调性的方法．

由f（x）=x³+bx²+cx，得
f′（x）=3x²+2bx+c，则
g（x）=f（x）-f′（x）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c，
∵g（x）是奇函数，
∴g（0）=-c=0，c=0．
∴g（x）=x³+（b-3）x²-2bx．
由g（-1）=-1+b-3+2b=3b-4，
-g（1）=-1-b+3+2b=b+2．
g（-1）=-g（1）得：3b-4=b+2，b=3．
∴b=3，c=0．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；导数的运算．

考点点评： 本题考查了导数的运算，考查了函数的奇偶性的性质，是基础题．

（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，
由奇函数定义得b=3；
（2）由（1）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，
当g'（x）＞0时，x＜-
2或x＞
2，
当g'（x）＜0时，-
2＜x＜
2，
由此可知，（-∞，-
2）和（
2，+∞）是函数g（x）的单调递增区间；（-
2，
2）是函数g（x）的单调递减区间；

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间

由图可知，f（x）=0的三个根为0，1，2
∴f（1）=1+b+c=0，f（2）=8+4b+2c=0
解得b=-3，c=2
又由图可知，x₁，x₂为函数f（x）的两个极值点
∴f′（x）=3x²-6x+2=0的两个根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=[2/3]
∴
x21+
x22=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4-[4/3]=[8/3]
故选 C

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法

（1）∵f'（x）=-3x²+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），(
2
3 ， 0)．
可知

-12-4b+c=0
-
4
3+
4
3b+c=0解得b=-2，c=4，
当x∈（-∞，-2）∪（[2/3]，+∞）时，f'（x）＜0
当x∈（-2，[2/3]）时，f'（x）＞0
∴函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，[2/3]）上单调递增，在（[2/3]，+∞）上单调递减，
∴f（x）=-x³-2x²+4x在x=-2时，
f（x）的极小值=-8
（2）由（1）得x=-2时，f（x）的极小值为-8，当x=[2/3]时，f（x）的极大值为[40/27]，
若方程f（x）+p=0有唯一实数解，
则函数f（x）的图象与直线y=-p有且只有一个交点，则p＜-[40/27]，或p＞8
（3）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，
只需f（x）_min≥m²-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，2）上单调递减，在（-2，[2/3]）上单调递增，在（ [2/3]，3]上单调递减
且f（-2）=-8，f（3）=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8
∴f（x）_min=f（3）=-33（11分）-33≥m²-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查会利用导数求函数极值，理解函数恒成立时所取的条件，数形结合的思想方法．

（I）∵f'（x）=3x2+2bx+c，∴k=f'（1）=3+2b+c=-3①，又∵f（1）=-5∴-5=1+b+c②，由①②解得：b=0，c=-6． （Ⅱ）当b=0，c=-6时，f（x）=x3-6x，∴f′(x)＝3x2−6＝3(x2−2)＝3(x+2)(x−2)，令f'（x）＞0得：...

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题导数的几何意义、切点坐标的应用，导数研究函数的单调性，待定系数法求解析式，属于基础题．

（1）f′（x）=3x²+2bx+c∵l₁⊥l₂，
∴f′（-1）•f′（1）=-1
即（3+2b+c）（3-2b+c）=-1①
∵α，β是3x²+2bx+c=0的两根，∴α+β＝−
2b
3，αβ＝
c
3.
又∵|α−β|＝

10
3，∴|α−β|2＝(α+β)2−4αβ＝
4b2
9−4•
c
3＝
10
9②
由①②得

c＝0
b＝±

10
2或

c＝6
b＝±

82
2

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．

考点点评： 考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及会求直线的斜率．

（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，
由奇函数定义得b=3；
（2）由（1）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，
当g'（x）＞0时，x＜-
2或x＞
2，
当g'（x）＜0时，-
2＜x＜
2，
由此可知，（-∞，-
2）和（
2，+∞）是函数g（x）的单调递增区间；（-
2，
2）是函数g（x）的单调递减区间；

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间

（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，
由奇函数定义得b=3；
（2）由（1）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，
当g'（x）＞0时，x＜-
2或x＞
2，
当g'（x）＜0时，-
2＜x＜
2，
由此可知，（-∞，-
2）和（
2，+∞）是函数g（x）的单调递增区间；（-
2，
2）是函数g（x）的单调递减区间；

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间

（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，
由奇函数定义得b=3；
（2）由（1）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，
当g'（x）＞0时，x＜-
2或x＞
2，
当g'（x）＜0时，-
2＜x＜
2，
由此可知，（-∞，-
2）和（
2，+∞）是函数g（x）的单调递增区间；（-
2，
2）是函数g（x）的单调递减区间；

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间

（Ⅰ）f'（x）=3x²+2bx+c，…（1分）
由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
知x=0是f（x）的一个极值点．…（2分）
∴f'（0）=0，得c=0．…（3分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，得3x²+2bx=0，∴x1＝0，x2＝−
2
3b(b＜0)．…（4分）
∵f（x）的图象上在两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，
∴A，B为f（x）的极值点．…（5分）
则m＝0，n＝−
2
3b(b＜0)．…（6分）
又f(0)＝−b，f(−
2
3b)＝
4
27b3−b
若f（x）在[0，−
2
3b]上存在零点．
∵f（0）=-b＞0，
则f(−
2
3b)＝
4
27b3−b≤0．…（7分）
∵b＜0，∴[4/27b2≥1，b2≥
27
4]，∴b≤−
3
3
2．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知由f'（x）=0，
得x1＝0，x2＝−
2
3b(b＜0)．
∵f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，f'（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的符号，…（9分）
∴2≤−
2
3b≤4，
即-6≤b≤-3．…（10分）
假设存在点M（x₀，y₀）使得f（x）在M处切线斜率为2b，
则f'（x₀）=2b，即3x²₀+2bx₀-2b=0，…（11分）
△=4b²+24b=4（b²+6b）=4（b+3）²-3b，
∵-6≤b≤-3，∴-3b≤△≤0，…（12分）
当b=-6时，△=0，
由3x02−12x0+12＝0得x0＝2，
故存在这样点M，坐标为（2，-10）．…（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

若f（x）=x³+bx²+cx是奇函数，则有f（-x）=f（x），即 （-x）³+bx²-cx=-（x³+bx²+cx），∴b=0．
由g（x）=x² +（c-2）x+5是偶函数，故有g（-x）=g（x），故（-x）² -（c-2）x+5是x² +（c-2）x+5，∴c=2，
∴b+c=2．
故答案为：2．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质

考点点评： 本题主要考查奇偶函数的定义．函数的奇偶性的判断，属于中档题．