kx²-（4k+1）x+3k+3=0 k为正整数 求该方程的较大根

解题思路：（1）根据一元二次方程定义得k≠0，再计算△=（4k+1）²-4k（3k+3），配方得△=（2k-1）²，而k是整数，则2k-1≠0，得到△=（2k-1）²＞0，根据△的意义即可得到方程有两个不相等的实数根；
（2）先根据求根公式求出一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0 的解为x=3或x=1+[1/k]，而k是整数，x₁＜x₂，则有x₁=1+[1/k]，x₂=3，于是得到y=3-（1+[1/k]）=2-[1/k]．

（1）证明：k≠0，
△=（4k+1）²-4k（3k+3）
=（2k-1）²，
∵k是整数，
∴k≠[1/2]，2k-1≠0，
∴△=（2k-1）²＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）y是k的函数．
解方程得，x=
(4k+1)±
(2k−1)2
2k=
4k+1±(2k−1)
2k，
∴x=3或x=1+[1/k]，
∵k是整数，
∴[1/k]≤1，
∴1+[1/k]≤2＜3．
又∵x₁＜x₂，
∴x₁=1+[1/k]，x₂=3，
∴y=3-（1+[1/k]）=2-[1/k]．

点评：
本题考点： 根的判别式；解一元二次方程-公式法．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了利用公式法解一元二次方程．

解题思路：（1）先求出△的值，再比较出其大小即可；
（2）利用求根公式求出方程的两个根即可．

（1）∵△=[-（4k+1）]²-4k（3k+3）=4（k-[1/2]）²，
∵k是整数，
∴4（k-[1/2]）²＞0，
∴此方程一定有两个不相等的实数根；
关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．

（2）∵由（1）知，△=4（k-[1/2]）²，
∴x=
4k+1±2|k−
1
2|
2k，即x₁=
4k+1+2|k−
1
2|
2k，x₂=
4k+1−2|k−
1
2|
2k．

点评：
本题考点： 根的判别式．

考点点评： 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键．

（1）证明：根据题意得k≠0，
∵△=（4k+1） ² -4k（3k+3）=4k ² -4k+1=（2k-1） ² ，
而k为整数，
∴2k-1≠0，
∴（2k-1） ² ＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）y是变量k的函数．
∵x ₁ +x ₂ =
4k+1
k ，x ₁ •x ₂ =
3k+3
k ，
∴（x ₁ -x ₂ ） ² =（x ₁ +x ₂ ） ² -4x ₁ •x ₂ =
(4k+1 ) 2
k 2 -
12k+12
k =
(2k-1 ) 2
k 2 =（2-
1
k ） ² ，
∵k为整数，
∴2-
1
k ＞0，
而x ₁ ＜x ₂ ，
∴x ₂ -x ₁ =2-
1
k ，
∴y=2-
1
k -2
=-
1
k （k≠0的整数），
∴y是变量k的函数．

²-4ac
=(4k+1)²-4k(3k+3)
=16k²+8k+1-12k²-12k
=4k²-4k+1
=(2k-1)²
∵k不是0
∴(2k-1)²>=0
∴方程有实数根
2.x1=[4k+1+2k-1]/(2k)=3
x2=(4k+1-2k+1)/(2k)=(2k+2)/(2k)=1+1/k
要得X2是整数,则1/k是整数,则有1/k=1或-1
即有K=1或-1