旋转变换的 可能要作全等

由图可知，第4个三角形与第1个三角形的所处形状相同，
即每三次旋转为一个循环组依次循环，
∵一个循环组旋转过的长度为12，2×12=24，
∴第7个直角三角形的直角顶点与第6个直角三角形的直角顶点重合，为（24，0）；
∵2013÷3=671…1，
∴第（2014）的直角顶点为第671循环后第一个直角三角形的直角顶点，
12×671=8052，
∴第（2014）的直角顶点的坐标是（8052，0）．
故答案为：（24，0）；（8052，0）．

点评：
本题考点： 规律型：点的坐标；坐标与图形变化-旋转．

考点点评： 本题考查了坐标与图形变化-旋转，是对图形变化规律，观察出每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合是解题的关键，也是本题的难点．

如图所示：

点评：
本题考点： 利用旋转设计图案．

考点点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．

由图可知，每3个三角形为一个循环组依次循环，且循环的长度为12，
∵36÷12=3，
∴（36，3）为第4个循环组的第一个三角形，序号为⑩．
故答案为：⑩（写成10也对）．

点评：
本题考点： 规律型：点的坐标．

考点点评： 本题考查了点的坐标的规律变化，准确识图，观察出每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．

（1）∵A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴△AOB的面积=[1/2]×4×3=6；

（2）由图可知，每3个三角形为一个循环组依次循环，
∵2013÷3=671，
∴三角形（2013）是第671个循环组的最后一个三角形，
12×671=8052，
∴三角形（2013）的直角顶点的坐标是（8052，0）．
故答案为：6；（8052，0）．

点评：
本题考点： 坐标与图形变化-旋转；三角形的面积．

考点点评： 本题考查了坐标与图形变化-旋转，三角形的面积，仔细观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．

由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，象这样平移三次直角顶点是（36，0），再旋转一次到三角形⑩，直角顶点仍然是（36，0），则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故答案为：（36，0）．

点评：
本题考点： 坐标与图形变化-旋转．

考点点评： 本题主要考查平面直角坐标系及图形的旋转变换的相关知识，要通过几次旋转观察旋转规律，学生往往因理解不透题意而出现问题．

（1）在直角△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，由勾股定理得AB＝
32+42＝5；（2分）

（2）观察可知，三角形⑨在x轴上与A点的最远距离是3+3×12，
三角形⑩与三角形④的放置相同，
所以，三角形⑩这在x轴上与A点的最远距离是3+3×12+4=43．（6分）

点评：
本题考点： 旋转的性质；坐标与图形性质；勾股定理．

考点点评： 本题主要考查了图形的变换规律．解决此类问题时，要善于抓住图形中的不变量及变化的量，弄清变化的规律．本题中能够通过观察得出每三次变换一循环是关键．

由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，象这样平移三次直角顶点是（36，0），再旋转一次到三角形⑩，直角顶点仍然是（36，0），则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故答案为：（36，0）．

点评：
本题考点： 坐标与图形变化-旋转．

考点点评： 本题主要考查平面直角坐标系及图形的旋转变换的相关知识，要通过几次旋转观察旋转规律，学生往往因理解不透题意而出现问题．

在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
（1）由△DCO绕点D按照顺时针方向旋转90°得到△DAM；
（2）由△AOB绕点A按照逆时针方向旋转90°得到△AMD；
（3）由△COB绕点B按照逆时针方向旋转90°得到△ANB，再由△ANB绕点A按照逆时针方向旋转90°得到△AOD．

点评：
本题考点： 旋转的性质．

考点点评： 本题考查了旋转的性质，正方形的每一个都是直角，比较简单，熟记性质并准确识图是解题的关键．

∵点A（-3，0），B（0，4），
∴OB=4，OA=3，
∴AB=5，
∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，
∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位，
而2012=3×670+2，
∴第⑤个三角形和第2012个三角形都和三角形②的状态一样，
∴2012个三角形离原点O最远距离的点的横坐标为670×12+9=8049，纵坐标为0．
第⑤三角形离原点O最远距离的点的横坐标为12+9=21，纵坐标为0．
故答案为（21，0），（8049，0）．

点评：
本题考点： 旋转的性质；坐标与图形性质．

考点点评： 本题考查了图形旋转后的坐标问题：先要理解所旋转图形的性质，然后根据旋转的性质理解每次旋转后图形各个点的坐标变化，从中找出变化的规律，再根据规律确定某种状态下的位置及坐标．

∵点A（-3，0）、B（0，4），
∴AB=
32+42=5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，
∵2013÷3=671，
∴△₂₀₁₃的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
∵671×12=8052，
∴△₂₀₁₃的直角顶点的坐标为（8052，0）．
故答案为：（8052，0）．

点评：
本题考点： 规律型：点的坐标．

考点点评： 本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．

由图可知，每3个三角形为一个循环组依次循环，
∵2014÷3=671余1，
∴△₂₀₁₄的直角顶点是第672组的第一个三角形的直角顶点，
与第671组的最后一个三角形的直角顶点重合，
∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得，AB=
OA2+OB2=
32+42=5，
∴一个循环组在x轴上的长度为3+4+5=12，
∵12×671=8052，
∴△₂₀₁₄的直角顶点的坐标为（8O52，0）．
故答案为：（8O52，0）．

点评：
本题考点： 坐标与图形变化-旋转．

考点点评： 本题考查了坐标与图形变化-旋转，观察图象得到每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，要注意相邻循环组的两个三角形的直角顶点互相重合．

（1）将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC；
故答案为：将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC．
（2）如图2-2-1，连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，
∴BB'=B'C，由翻折可得，
∴B'C=BC，
∴△BB'C为等边三角形．
∴∠B'CB=60°，
∴∠B'CG=30°，
∵∠GB′C=90°，
∴∠B'GC=60°；
（3）如图3-1-1，分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，
∵BA=BC，根据平移变换的性质，
∴△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI，GR=EQ=CP=0.5a，DP=FQ=HR．
∵AC=a，
∴AI=4a．
∵AH=AI，
∴AH=4a，AR=3.5a．
∴AH²=16a²．
在Rt△AHR中，AH²=HR²+AR²，
16a²=HR²+[49/4]a²，
HR²=[15/4]a²，
∴DP²=FQ²=HR²=[15/4]a²，
在Rt△ADP和Rt△AFQ中，由勾股定理，得
AD²=AP²+DP²=6a²，AF²=AQ²+FQ²=10a²，
∴AH²=AD²+AF²，
∴新三角形为直角三角形，
∴新三角形三边长为4a、
6a、
10a．
其面积为：[1/2]
6a×
10a=
15a²．
∵

点评：
本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题考查了旋转变换的运用，翻折变换的运用，平移变换的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用．本题的综合性较强要求学生熟练的运用图形变换解题是关键．

由图可知，第4个三角形与第1个三角形的所处形状相同，
即每三次旋转为一个循环组依次循环，
∵一个循环组旋转过的长度为12，2×12=24，
∴第7个直角三角形的直角顶点与第6个直角三角形的直角顶点重合，为（24，0）；
∵2013÷3=671，
∴第（2013）的直角顶点为第671循环组的最后一个直角三角形的直角顶点，
12×671=8052，
∴第（2013）的直角顶点的坐标是（8052，0）．
故答案为：（24，0）；（8052，0）．

点评：
本题考点： 坐标与图形变化-旋转．

考点点评： 本题考查了坐标与图形变化-旋转，是对图形变化规律，观察出每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合是解题的关键，也是本题的难点．

∵A（-4，0），B（0，3），
∴AB=5，
∴第三个和第四个直角三角形的直角顶点的坐标是（12，0），
∵对△AOB连续作三次旋转变换回到原来的状态，
∴第（7）个三角形的直角顶点的横坐标等于12×2=24，
∴第（7）个三角形的直角顶点的坐标是 （24，0）；
∴第（2011）个三角形的直角顶点的横坐标等于670×12=8040，
∴第（2011）个三角形的直角顶点坐标是（8040，0）．
故答案为：（24，0），（8040，0）．

点评：
本题考点： 旋转的性质；坐标与图形性质．

考点点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了勾股定理以及图形变化的规律．

根据题意：观察可得：图①与图②对应点位置不变，通过平移可以得到；
根据旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是A．
填：平移，A．

点评：
本题考点： 生活中的旋转现象．

考点点评： 本题考查平移、旋转的性质；
平移的基本性质①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．

活动一：
∵四边形DECF是正方形，
∴DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，
∴[AD/AB＝
DE
BC]，[DF/AC＝
BD
AB]，
∵AD=2，BD=1，
∴AC=3x，BC=[3/2]x，
∵AC²+BC²=AB²，
∴9x²+（[3/2]x）²=9，
解得：x=
2
5
5，
∴DE=DF=
2
5
5，AE=[4/5]
5，BF=

5
5，
∴S_△ADE+S_△BDF=1，
∴S_阴影=1；
故答案为：1；

活动二：根据题意得：∠EAG=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=∠G=90°，
∴四边形AECG是矩形，
∵AE=AG，
∴四边形AECG是正方形，
∵BC=5，CD=3，
∴设AE=x，则BE=GD=CG-CD=x-3，
BE=BC-EC=5-x，
∴x-3=5-x，
解得：x=4，
∴AE=4．
故答案为：正方形，4；

活动三：过点B作BG⊥DC于点G，过点E作EF⊥AB与AB的延长线交于点F．
∵∠BAD=∠D=∠DGB=90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴DG=AB=2，
∴CG=DC-DG=4-2=2．
∵∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，
∴∠CBG=∠EBF．
在△BCG与△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，
∴△BCG≌△BEF，
∴CG=EF=2．
∴S_△ABE=[1/2]AB•EF=2．（10分）

点评：
本题考点： 旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定．

考点点评： 本题主要考查了旋转变换及其性质．在解题中进行旋转变换的目的在于通过旋转变换可以使图形发生重组，使分散的条件得以集中，然后运用旋转的“不变性”可以使一些问题迎刃而解．一般来说，当图形中有“共点等边”的图形时，常进行旋转变换．

∵AB=BC，OA=OC，OB=OB，
∴△AOB≌△COB，
∴∠OAB=∠OCB=（360-90-40）÷2=115°．
故选A．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角．

考点点评： 主要考查了四边形的内角和以及全等三角形的性质和判断．四边形内角和是360度．注意：垂直和直角总是联系在一起．

如图，作PH⊥x轴于H，
∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=
OA2+OB2=5，
∵[1/2]PH•MN=[1/2]PM•PN，
∴PH=[3×4/5]=[12/5]=2.4，
∴MH=
PM2−PH2=3.2，
∴三角形②的直角顶点坐标为（7.2，2.4），
∴△AOB连续3次作旋转变换，直角顶点的横坐标增加3+4+5=12，
而32=3×10+2，
∴三角形的直角顶点坐标与第②个三角形的直角顶点的纵坐标相同，横坐标为12×10+7.2=127.2，
即三角形的直角顶点的坐标为（127.2，2.4）．
故答案为（127.2，2.4）．

点评：
本题考点： 坐标与图形变化-旋转．

考点点评： 本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

∵点A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=
42+32=5，
∴第（3）个三角形的直角顶点的坐标是（12，0）；
∵2014÷3=671余1，
∴第（2014）个三角形是第672组的第一个直角三角形，
其直角顶点与第671组的最后一个直角三角形顶点重合，
∵671×12=8052，
∴第（2014）个三角形的直角顶点的坐标是（8052，0）．
故答案为：（12，0）；（8052，0）．

点评：
本题考点： 坐标与图形变化-旋转．

考点点评： 本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理的应用，观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．

根据旋转的概念，知
A、是平移变换，不属于旋转变换；
B、属于旋转变换；
C、属于旋转变换．
故选A．

点评：
本题考点： 旋转；平移．

考点点评： 考查了旋转变换的概念：图形的旋转，即是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．

A、无法通过平移变换、轴对称变换和旋转变换得到；
B、y=2x²+3可由原函数向上平移2个单位得出；
C、y=-2x²-1可将原函数沿x轴翻折得出；
D、y=2（x+1）²-1可由原函数向左平移1个单位，再向下平移2个单位得出；
故选A．

点评：
本题考点： 二次函数图象与几何变换．

考点点评： 熟练掌握二次函数与平移、轴对称、旋转的性质是解答此题的关键．