已知函数f(x)=1−xax+lnx.

sjee虫2022-10-04 11:39:541条回答

已知函数f(x)=
1−x
ax
+lnx

(1)当a=1时,求f(x)的最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)−
x
a
在区间(1,2)上不单调,求a的取值范围.

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caled 共回答了13个问题 | 采纳率100%
解题思路:(1)当a=1时,准确求出函数的导数是解决本题的关键,求函数的最值要研究函数在定义区间的单调性,通过函数的单调性解决本题;
(2)将函数在给定区间上不单调问题进行等价转化是解决本题的关键,即将原函数不单调问题转化为导函数在给定区间上有根问题,利用分离常数法解决本题.

(1)当a=1时,f(x)=
1
x+lnx−1,f′(x)=−
1
x2+
1
x=
x−1
x2(x>0),
令f′(x)=0得x=1.f′(x)<0得0<x<1,f′(x)>0得1<x,
∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
故fmin(x)=f(1)=0.
(2)g(x)=f(x)−
x
a=
1−x
ax+lnx−
x
a.g′(x)=−
1
ax2+
1
x−
1
a=−
x2−ax+1
ax2.
∵g(x)在(1,2)上不单调,
∴x2-ax+1=0在(1,2)上有根且无重根.
即方程a=x+
1
x在(1,2)有根,且无重根.
∴2<a<
5
2.

点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的单调性与导数的关系.

考点点评: 本题考查导数研究函数的最值、单调性等问题,考查学生的转化与化归思想,求最值时候要注意研究函数的单调性,将函数的单调性问题转化为导函数的正负问题,本题又一个考点是利用分离常数法求字母的取值范围,将字母的取值范围转化为相应函数的值域问题,通过求函数的值域达到解决本题的目的.

1年前

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已知函数f(x)=
1−x
ax
+lnx

(1)当a=1时,求f(x)的最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)−
x
a
在区间(1,2)上不单调,求a的取值范围.
张小嘎2031年前1
Andy1031 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%
解题思路:(1)当a=1时,准确求出函数的导数是解决本题的关键,求函数的最值要研究函数在定义区间的单调性,通过函数的单调性解决本题;
(2)将函数在给定区间上不单调问题进行等价转化是解决本题的关键,即将原函数不单调问题转化为导函数在给定区间上有根问题,利用分离常数法解决本题.

(1)当a=1时,f(x)=
1
x+lnx−1,f′(x)=−
1
x2+
1
x=
x−1
x2(x>0),
令f′(x)=0得x=1.f′(x)<0得0<x<1,f′(x)>0得1<x,
∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
故fmin(x)=f(1)=0.
(2)g(x)=f(x)−
x
a=
1−x
ax+lnx−
x
a.g′(x)=−
1
ax2+
1
x−
1
a=−
x2−ax+1
ax2.
∵g(x)在(1,2)上不单调,
∴x2-ax+1=0在(1,2)上有根且无重根.
即方程a=x+
1
x在(1,2)有根,且无重根.
∴2<a<
5
2.

点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的单调性与导数的关系.

考点点评: 本题考查导数研究函数的最值、单调性等问题,考查学生的转化与化归思想,求最值时候要注意研究函数的单调性,将函数的单调性问题转化为导函数的正负问题,本题又一个考点是利用分离常数法求字母的取值范围,将字母的取值范围转化为相应函数的值域问题,通过求函数的值域达到解决本题的目的.

已知函数f(x)=1−xax+lnx.
已知函数f(x)=
1−x
ax
+lnx

(1)当a=1时,求f(x)的最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)−
x
a
在区间(1,2)上不单调,求a的取值范围.
9798201年前1
其实没啥 共回答了12个问题 | 采纳率100%
解题思路:(1)当a=1时,准确求出函数的导数是解决本题的关键,求函数的最值要研究函数在定义区间的单调性,通过函数的单调性解决本题;
(2)将函数在给定区间上不单调问题进行等价转化是解决本题的关键,即将原函数不单调问题转化为导函数在给定区间上有根问题,利用分离常数法解决本题.

(1)当a=1时,f(x)=
1
x+lnx−1,f′(x)=−
1
x2+
1
x=
x−1
x2(x>0),
令f′(x)=0得x=1.f′(x)<0得0<x<1,f′(x)>0得1<x,
∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
故fmin(x)=f(1)=0.
(2)g(x)=f(x)−
x
a=
1−x
ax+lnx−
x
a.g′(x)=−
1
ax2+
1
x−
1
a=−
x2−ax+1
ax2.
∵g(x)在(1,2)上不单调,
∴x2-ax+1=0在(1,2)上有根且无重根.
即方程a=x+
1
x在(1,2)有根,且无重根.
∴2<a<
5
2.

点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的单调性与导数的关系.

考点点评: 本题考查导数研究函数的最值、单调性等问题,考查学生的转化与化归思想,求最值时候要注意研究函数的单调性,将函数的单调性问题转化为导函数的正负问题,本题又一个考点是利用分离常数法求字母的取值范围,将字母的取值范围转化为相应函数的值域问题,通过求函数的值域达到解决本题的目的.