可降阶的高阶微分方程里 介绍了一种方法 在y''＝f(x)的两端乘上2y'

y'''=2x+e^x
y''=x^2+e^x+A
y'=1/3*x^3+e^x+Ax+B
y=1/12*x^4+e^x+A/2*x^2+Bx+C （A B C分别是任意常数）

xy'+1=y'^2
y'^2-xy-1=0
(y'-x/2)^2=1+x^2/4
y'=x/2+√(1+x^2/4) 或 y'=x/2-√(1+x^2/4)
dy/dx=x/2+√(1+x^2/4) dy/dx=x/2-√(1+x^2/4)
通解
y=x^2/4+(1/8)x√(1+x^2/4)+(1/4)ln|x/2+√(1+x^2/4)|+C
y=x^2/4-(1/8)x√(1+x^2/4)-(1/4)ln|x/2+√(1+x^2/4)|+C
∫√(1+x^2/4)dx
x/2=tanu
=(1/2)∫secu^3du
=(1/2)∫secudtanu=(1/2)secutanu-(1/2)∫tanu^2 secudu
=(1/2)secutanu-(1/2)∫secu^3du+(1/2)∫secudu
∫secu^3du=(1/2)secutanu+(1/2)ln|secu+tanu|
(1/2)∫secu^3du=(1/4)secutanu+(1/4)ln|secu+tanu|
∫√(1+x^2/4)dx=(1/8)x√(1+x^2/4)+(1/4)ln|x/2+√(1+x^2/4)|

(1)xy''+y'=0
两边积分,得
xy'=C
y'=C/x
y=C1ln|x|+C2
(2)令p=y'
则y''=dy'/dx=dp/dy * dy/dx=p' *p
于是方程化为pp'+p^2=1
p'=(1-p^2)/p
pdp/(1-p^2)=dy
1/2 * d(p^2)/(1-p^2)=dy
两边积分,得
-ln|1-p^2|=2y+C
-ln|1-y'^2|=2y+C
将y(0)=0,y'(0)=0代入,得C=0
于是方程化为 -ln|1-y'^2|=2y
ln|1-y'^2|= -2y
|1-y'^2|=e^(-2y)
1-y'^2=e^(-2y) 或 1-y'^2= -e^(-2y)（将y(0)=0,y'(0)=0代入,发现第二种情况不符,舍去）
接下去见图
(3)请楼主确认下e^(y^2)是y的次方还是跟y相乘?还有个人也发了这题,还说明了是次方不是相乘,我个人觉得相乘还能解,次方的话解不了.y^[e^(y^2)]这玩意光是求导就复杂得很了,更别说是积分了
如果是相乘
e^(-y^2)dx/dy-e^(-y^2)2yx=2y
两边对y积分,得
e^(-y^2)x=y^2+C
x=y^2 * e^(y^2) + Ce^(y^2),C是任意实数

1,令y'=p,则y"=(dp/dy)*(dy/dx)=p'*p,则原方程为就容易转化了
2.同上令y'=p,则y"=dp/dx,就又可以进行计算
这是一些基本计算,比较好进行求解,主要了解一些基本方法即可

设p=y',y''=dp/dx=(dp/dy)*(dy/dx)=p(dp/dy)
得到p关于y的微分方程
p(dp/dy)+p²=2e^(-y)
2p(dp/dy)+2p²=4e^(-y)
(p²)'+2p²=4e^(-y)
e^(2y)[(p²)'+2p²]=4e^y
[e^(2y)(p²)]'=4e^y
求得y'=p=(4e^(-y)+C)^(1/2)
∫(4e^(-y)+C)^(-1/2)dy=∫dx
这个积分用第二类换元法可以解出来,下面的我就不算了.