∫∫∫zdxdydz,其中d由不等式z=6-x^2-y^2及z^2=x^2+y^2所围成的闭区域;

原式=∫xdx∫dy∫zdz
=(1/2)∫xdx∫y²dy
=(1/6)∫x(1-x^6)dx
=(1/6)∫(x-x^7)dx
=(1/6)*0
=0

∫∫∫zdxdydz=∫dθ∫rdr∫zdz (作柱面坐标变换)
=2π∫(1/2)[(1-r^2)-r^2]rdr
=π∫(r-2r^3)dr
=π(1/8)
=π/8.

切片法：：

柱面坐标：：


还有球面坐标,不过那个有点复杂.

z=√[4-3(x²+y²)]开口向下,z=x²+y²开口向上,因此它们所围区域的底部曲面为z=x²+y²,顶部曲面为z=√[4-3(x²+y²)],下面计算两曲面交线在xOy面的投影,
x²+y²=√[4-3(x²+y²)],得(x²+y²)²=4-3(x²+y²),即(x²+y²+4)(x²+y²-1)=0,得：x²+y²=1
因此投影为：x²+y²≤1,记为区域Dxy,则
∫∫∫zdxdydz 先积z
=∫∫ ∫[x^2+y^2-->√(4-3(x²+y²)) ] zdz dxdy 其中二重积分的积分区域为：Dxy
=1/2∫∫ z² |[x^2+y^2-->√(4-3(x²+y²)) ] dxdy
=1/2∫∫ (4-3(x²+y²)-(x²+y²)²) dxdy
用极坐标
=1/2∫∫ (4-3r²-r⁴)r drdθ 积分区域Dxy：x²+y²≤1
=1/2∫[0-->2π]dθ ∫[0-->1] (4r-3r³-r⁵) dr
=π[2r²-3/4r⁴-1/6r⁶] [0-->1]
=13π/12

你应该把正确答案放上来让别人参考.我觉得是对的呀

截面法
做截面Dz：x²+y²≤1-z²
∫∫∫(D) zdxdydz
=∫[0→1] zdz ∫∫ dxdy 其中二重积分的积分区域是Dz,Dz面积为：π(1-z²)
=π∫[0→1] z(1-z²)dz
=π∫[0→1] (z-z³)dz
=π[(1/2)z²-(1/4)z^4] |[0→1]
=π/4

原式=∫(0,4)dz∫∫(Dz)zdxdy
=∫(0,4)zdz∫∫(Dz)dxdy
=∫(0,4)z×πz^2dz
=π∫(0,4)z^3dz
=π×1/4×z^4|(0,4)
=64π
其中Dz:x^2+y^2≤z^2

采用柱坐标比较方便：
积分限：0≤θ≤2π,0≤r≤1,0≤z≤r²,dxdydz=rdrdθdz. 下面式子积分限没打,因为不好输入.
∫ dθ∫rdr∫zdz
=∫ dθ∫(1/2)r^5dr∫
=(1/12)∫dθ
=π/6

因为,曲面z=x^2+y^2在柱坐标下的方程为z=ρ^2
这题如果是计算积分值的话,正解如下：
因为z=常数的平面与Ω截得区域的面积为πz
所以∫∫∫zdxdydz＝∫(0~4)z(πz)dz=(1/3)π(z^3)︱(0~4)=64π/3

采用柱坐标比较方便：
积分限：0≤θ≤2π,0≤r≤1,0≤z≤r²,dxdydz=rdrdθdz. 下面式子积分限没打,因为不好输入.
∫ dθ∫rdr∫zdz
=∫ dθ∫(1/2)r^5dr∫
=(1/12)∫dθ
=π/6

∫∫∫Ω z dV
= ∫(0→1) z dz ∫∫ Dxy dxdy
= ∫(0→1) z • π(2z) dz
= 2π • (1/3)[ z³ ] |(0→1)
= 2π/3
或
∫∫∫Ω z dV
= ∫∫Dxy dxdy ∫(r²/2→1) z dz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→√2) r dr • (1/2)[ z² ] |(r²/2→1)
= π • ∫(0→√2) r • [ 1 - r⁴/4 ] dr
= (π/4)∫(0→√2) (4r - r⁵) dr
= (π/4) • [ 2r² - (1/6)r⁶ ] |(0→√2)
= (π/4) • [ 4 - (1/6)(8)]
= 2π/3

这里有一个幻灯片
其实,三重积分,就是把一重积分和二重积分的扩展
三重积分及其计算
一,三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义
其中 dv 称为体积元,其它术语与二重积分相同
若极限存在,则称函数可积
若函数在闭区域上连续, 则一定可积
由定义可知
三重积分与二重积分有着完全相同的性质
三重积分的物理背景
以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量
下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法.
二,在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面 x =常数,y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体
其体积为
故在直角坐标系下的面积元为
三重积分可写成
和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算
具体可分为先单后重和先重后单
①先单后重
——也称为先一后二,切条法( 先z次y后x )
注意
用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分.
化三次积分的步骤
⑴投影,得平面区域
⑵穿越法定限,穿入点—下限,穿出点—上限
对于二重积分,我们已经介绍过化为累次积分的方法
例1 将
化成三次积分
其中 为长方体,各边界面平行于坐标面
解
将 投影到xoy面得D,它是一个矩形
在D内任意固定一点(x ,y)作平行于 z 轴的直线
交边界曲面于两点,其竖坐标为 l 和 m (l < m)
o
x
y
z
m
l
a
b
c
d
D
.(x,y)
例2 计算
其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1 所围成的区域
D
x
y
z
o
解
画出区域D
解
除了上面介绍的先单后重法外,利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分
先重后单,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分
若 f(x,y,z) 在 上连续
介于两平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 < c2 ) 之间
用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域
则
②先重后单
易见,若被积函数与 x , y 无关,或二重积分容易计算时,用截面法较为方便,
就是截面的面积,如截面为圆,椭圆,三角形,正方形等,面积较易计算
尤其当 f ( x , y , z ) 与 x , y 无关时

根据D的性质,能用的
I = ∫∫∫_(D) z dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/2) dφ ∫(0→1) (rcosφ)(r²sinφ) dr
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→π/2) cosφsinφ dφ ∫(0→1) r³ dr
= (2π)(1/2)(1/4)
= π/4

球坐标变换：x=rsintcosb,y=rsintsinb,z=rcost,Jacobian行列式为r^2sint.
第一个不等式为r^2