在直平行六面体AC1中,ABCD是菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,AB=AA1.
(1)求证:C1O∥平面AB1D1;
(2)求证:平面AB1D1⊥平面ACC1A1;
(3)求直线AC与平面AB1D1所成角的正弦值.
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- zjrain 共回答了14个问题
|采纳率71.4% - 解题思路:(1)连接A1C1交B1D1于O1,连接AO1;可以推得四边形AOC1O1为平行四边形;进而得到C1O∥AO1,再结合线面平行的判定即可证明结论.
(2)先根据直平行六面体AC1中,A1A⊥平面A1B1C1D1,得到A1A⊥B1D1;再结合四边形A1B1C1D1为菱形,得到B1D1⊥A1C1;即可得到平面AB1D1⊥平面ACC1A1;
(3)过C作CH⊥AO1交AO1于H,可得CH⊥平面AB1D1;进而得∠CAH是AC与平面AB1D1所成的角;然后通过求三角形的边长即可求出结论.证明:(1)连接A1C1交B1D1于O1,连接AO1.
在平行四边形AA1C1C中,C1O1∥AO,C1O1=AO,
∴四边形AOC1O1为平行四边形.
∴C1O∥AO1.(3分)
∵C1O⊄平面AB1D1,AO1⊂平面AB1D1,(4分)
∴C1O∥平面AB1D1.(5分)
(2)在直平行六面体AC1中,A1A⊥平面A1B1C1D1,
∴A1A⊥B1D1.
∵四边形A1B1C1D1为菱形,
∴B1D1⊥A1C1.(7分)
∵A1C1∩AA1=A1,A1C1⊂平面ACC1A1,AA1⊂平面ACC1A1,(9分)
∴B1D1⊥平面ACC1A1.
∵B1D1⊂平面AB1D1,
∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1.(10分)
(3)过C作CH⊥AO1交AO1于H.
∵平面AB1D1⊥平面ACC1A1,平面AB1D1∩平面ACC1A1=AO1,
∴CH⊥平面AB1D1.
∴AH为AC在平面AB1D1上的射影.
∴∠CAH是AC与平面AB1D1所成的角.(11分)
设AB=2,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,
∴AC=2
3.(12分)
在Rt△AA1O1中,AO1=
7.
∵AO1•CH=AC•OO1,
∴CH=
4
21
7
.∴sinCAH=
CH
AC=
2
7
7.(14分)点评:
本题考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.
考点点评: 本题主要考察线面平行以及面面垂直的证明,线面角的求法.一般在证明面面垂直时,先证明线线垂直,得到线面垂直,进而得到面面垂直. - 1年前
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O1OA中计算此角即可(1)连接A1C1,交B1D1于O1在矩形ACA1C1中,易得O1C1∥A0,且O1C1=A0∴四边形AOC1O1为平行四边形∴AO1∥OC1,∵AO1⊂平面AB1D1;∴C1O∥平面AB1D1;(2)∵B1D1⊥A1C1,B1D1⊥A1A,∴B1D1⊥平面A1C,∴平面AB1D1⊥平...
点评:
本题考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.
考点点评: 本题考察了线面平行的证明方法和线面角的作法和求法,解题时要熟记线面平行的判定定理,熟记面面垂直的性质定理,能将空间问题转化为平面问题解决1年前查看全部
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在直平行六面体AC1中,ABCD是菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,AB=AA1.
(1)求证:C1O∥平面AB1D1;
(2)求证:平面AB1D1⊥平面ACC1A1;
(3)求直线AC与平面AB1D1所成角的正弦值.
★你能同时用好“由因导果和执果索因”的证明吗?woaianxi1年前1 -
mexicocity 共回答了27个问题
|采纳率85.2%解题思路:(1)连接A1C1交B1D1于O1,连接AO1,通过证得四边形AOC1O1为平行四边形,得出C1O∥AO1 后即可证明C1O∥面AB1D1.
(2)根据四边形A1B1C1D1为菱形,得出B1D1⊥A1C1,易证A1A⊥B1D1,所以B1D1⊥平面ACC1A1,从而证明平面AB1D1⊥平面ACC1A1.
(3)过C作CH⊥AO1交AO1于H.CH⊥平面AB1D1 .∠CAH是AC与平面AB1D1 所成的角,在△CAH 中求解即可.证明:(1)连接A1C1交B1D1于O1,连接AO1.
在平行四边形AA1C1C中,C1O1∥AO,,C1O1=AO,
∴四边形AOC1O1为平行四边形.∴C1O∥AO1 .-----3分
又∵C1O⊄面AB1D1 ,AO1⊂面AB1D1 -------4分
∴C1O∥面AB1D1---------------------------------------5分
(2)在直平行六面体AC1中,A1A⊥平面A1B1C1D1
∴A1A⊥B1D1,
∵四边形A1B1C1D1为菱形,∴B1D1⊥A1C1.--------------------------------------------7分
∵A1C1∩AA1=A1,A1C1⊂平面ACC1A1,,--------------9分
∴B1D1⊥平面ACC1A1 .
∵B1D1⊂平面AB1D1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1 .-------------------------------10分
(3)过C作CH⊥AO1交AO1于H.
∵平面AB1D1⊥平面ACC1A1 ,平面AB1D1∩平面ACC1A1=AO1 ,
∴CH⊥平面AB1D1 .∴AH为AC在平面AB1D1 上的射影.
∴∠CAH是AC与平面AB1D1 所成的角.----------------11分
设AB=2,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,
∴AC=2
3.-------------------------------12分
在Rt△AA1O1中,AO1=
7
∵AO1•CH=AC•OO1,∴CH=
4
21
7∴sin∠CAH=[CH/AC]=
2
7
7.---14分点评:
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连接A1C1,交B1D1于O1
在矩形ACA1C1中,易得O1C1∥A0,且O1C1=A0
∴四边形AOC1O1为平行四边形
∴AO1∥OC1,∵AO1⊂平面AB1D1;
∴C1O∥平面AB1D1;
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