tanx带佩亚诺余项的麦克劳林三阶公式为什么后面是0（x ^4）?

f(x)=(x^3+2x+1)/(x-1)
=(x^3-x^2+x^2-x+3x-3+4)/(x-1)
=(x^2+x+3)+4/(x-1)
=(x^2+x+3)-4/(1-x)
=(x^2+x+3)-4[1+x+x^2+x^3+..+ox^n]
=x^3+x+3-4-4x-4x^2-4x^3-.-ox^n
=-1-3x-4x^2-3x^3-4x^4-4x^5-...-ox^n

e∧x=1+x+x²/2!+x³/3!+0(x³)

皮亚诺余项指的是一个形式上的无穷小,即假设余项前的一项（即那个（x-a）的n次方）为无穷小,则lim(余项前的一项/余项)=0（（x-a）趋向于0时）,所以皮亚诺余项在（x-a）大于1的情况下就会很不准,所以皮亚诺余项一般是出现在麦克劳林展示中用于极限的计算.

f(x)=f(x0)+f(x0)'(x-x0)+0(x-x0)
在点x0用f(x0)+f('x0)(x-x0)逼近函数f(x)
但是近似程度不够
就是要用更高次去逼近函数
当然还要满足误差是高阶无穷小
所以对比上面的式子
就有:
pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+...+an(x-x0)^n
这里an=pn^(n)(x0)/n!
形式跟上面是一样的
最后证明高阶无穷小

我写在我博客里了,你去看看吧
不懂的再联系

用mathematica来帮你吧,直接输入：
Series[1/(2+x),{x,1,5}]
输出
1/3-(x-1)/9+1/27 (x-1)^2-1/81 (x-1)^3+1/243 (x-1)^4-1/729 (x-1)^5+O[x-1]^6
这个就是你要的泰勒展开公式

恩，lz很细心通过求高阶导数，可知:sin的2n阶导和cos的(2n-1)阶导在x=0点都得0。这说明什么呢?说明sin代Peano余项的Maclaurin展开的2n-1阶=2n阶，所以最后误差项写o(x^2n-1)和写o(x^2n)一样。cos同理，不赘述 查看原帖

带佩亚诺余项的泰勒公式可以表示为：
f(x)=f(x0)+(x-x0) * f'(x0)/1!+ (x-x0)^2 * f''(x0)/2!+… +(x-x0)^n * f^(n) (x0)/n!+o((x-x0)^n)
而x0→0时,
f(x)=f(0)+ x * f'(0)/1!+ x^2 * f''(0)/2!+… +x^n * f^(n) (0)/n!+o(x^n)
显然当f(x)=arctanx时,
f(0)=0
f '(x)=1/(1+x^2),f ''(x)= -2x/(1+x^2)^2,
f '''(x)= -2/(1+x^2)^2 - 2x *(-2) * (2x)/(1+x^2)^3 = (6x^2-2)/(1+x^2)^3
所以当x0→0时,
f '(0)=1,f ''(0)=0,f '''(0)= -2
于是
arctanx=arctan0 + x * f'(0)/1!+ x^2 * f''(0)/2!+ x^3 * f''(0)/3!+ o(x^3)
=0+ x +0*x^2/2 -2*x^3/6 +o(x^3)
= x - 1/3*x^3 + o(x^3)

sinx＝x－x3/6＋o(x3) 和 sinx＝x－x3/6＋o(x4) 都可以.
因为sinx的泰勒公式的下一项是x5/5!,它比x3、x4都高阶,所以这个地方写o(x3)还是o(x4)都可以.
不过如果题目是让你写出sinx的泰勒公式,这个地方还是根据前面展开式的最后一项－x3/6决定使用o(x3).如果使用泰勒公式求极限,那么最后是用o(x3)还是o(x4)要根据题目决定.
类似地,e的x2 ＝1＋x2＋x4/2＋o(x5) 和 1＋x2＋x4/2＋o(x4)都可以.因为e的x2的泰勒公式的下一项是x6/6,比x4、x5都高阶.
一般地,如果一个函数f(x)展开到x^n,佩亚诺余项写作o(x^n).

第一个1+x^2/6+7x^4/360+o(x^4)
注意x/sinx=1/(1+x^2/6-x^4/120+o(x^4)),代入t=x^2/6-x^4/120+o(x^4)和1/(1+t)=1-t+t^2+o(t^2)就好了.
ln(sinx+cosx)=ln(1+x-x^2/2-x^3/6+x^4/24+o(x^4)),代入t=x-x^2/2-x^3/6+x^4/24+o(x^4)和ln(1+t)=t-t^2/2+t^3/3-t^4/4+o(t)得到x-x^2+2x^3/3-x^4+o(x^4)

带佩亚诺余项的泰勒公式可以表示为：
f(x)=f(x0)+(x-x0) * f'(x0)/1!+ (x-x0)^2 * f''(x0)/2!+… +(x-x0)^n * f^(n) (x0)/n!+o((x-x0)^n)
而x0→0时,
f(x)=f(0)+ x * f'(0)/1!+ x^2 * f''(0)/2!+… +x^n * f^(n) (0)/n!+o(x^n)

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-...+(-1)^(n-1)x^n/n+o(x^n)f（x）=x+ln(1+x)=2x-x^2/2+x^3/3-...+(-1)^(n-1)x^n/n+o(x^n)分母是x²*f（x）=2x³-x^4/2+x^5/3-...+(-1)^(n-1)x^（n+2）/n+o(x^（n+2））cosx=1-x²...

可以考虑x/sinx求4阶导数,令x趋于0可求出系数
现在用级数的除法：显然f(x)=x/sinx为偶函数,故泰勒公式中只有偶次幂
设f(x)=x/sinx=(a0+a2x^2+a4x^4+o(x^5))
那么x=(a0+a2x^2+a4x^4+o(x^5))(x-x^3/6+x^5/5!+o(x^6))
=a0x+(a2-a0/6)x^3+(a4-a2/6+a0/5!)x^5+o(x^6)
解得：a0=1,a2=1/6,a4=1/32-1/36=1/288
所以：f(x)=x/sinx=1+x^2/6+x^4/288+o(x^5))

这个嘛,0（x）是关于小的无穷小,
内含于不是重合,互相内含才是重合,即你在我心中,我在你心中这就重合了.

只要n阶可导就可以了,因为Peano余项不一定要用Lagrange余项来推导.
只能说当n+1阶可导时Lagrange余项要比Peano余项强.
补充：
1.带Peano余项的Taylor公式可以反复利用L'Hospital法则来推导.带Lagrange余项的Taylor公式需要用中值定理来推导,这个公式也叫Taylor中值定理.
2.Peano余项需要的条件弱,结论也弱,Lagrange余项需要的条件强,结论也强得多.Peano余项只能反映局部性质,Lagrange余项则反映了全局性质,因为这个是中值定理.