an+1=an^2/(an^2+2an),怎么构造新数列解此题

an=3^(2^(n-1))
a1=3=3^1
a2=a1^2=3^2
a3=a2^2=(3^2)^2=3^4
a4=a3^2=(3^4)^2=3^8
.
an=3^(2^(n-1))

（1）用数学归纳法.
A（n+1）=An^2-nAn+1=An(An-n)+1>=An*2+1>=(n+2)*2+1=2n+5>n+1+2
（2）因为an>=n+2,所以an-n>=2
A(n+1)=An(An-n)+1>=2An+1
A(n+1)+1>=2(An+1)
1/(A(n+1)+1)

1.根据已知两个条件,列出这个数列的前几项为
a1=3=3^1
a2=3^2
a3=3^4
a4=3^8
a5=3^16
……
观察,各项都是3的幂,其指数又都是2的幂;而在2的幂中,指数比项数小1.
记为an=3^[2^(n-1)],这就是所求的通项公式.

这是一个求和问题的活用,你先用a1表示s1,再用a1 a2表示s2,在转化成Sn 1表示出来,

(1)注意到 a_{n+1}-1/2 = 2 (a_n - 1/2)^2
可以求得 a_n = 2^{(2^n)-1} (a_0 - 1/2)^{2^n} + 1/2
所以序列 {a_n} 是单调的.故不妨设 p>q>r>s
设 a_0 - 1/2 = x/y 是有理数,其中 x,y 是整数,且x,y 互素
代入 a_p + a_s = a_q + a_r 整理可得
2^{2^p-1}x^{2^p-2^s} + 2^{2^s-1}y^{2^p-2^s}
= 2^{2^q-1}x^{2^q-2^s}y^{2^p-2^q} + 2^{2^r-1}x^{2^r-2^s}y^{2^p-2^r}
所以 x^{2^r-2^s} | 2^{2^s-1} ( | 表示整除)
因为 2^r-2^s > 2^s-1,所以 x = 正负1
同样 y^{2^p-2^q} | 2^{2^p-1} 得到 y=正负1或者正负2
代回去得到a_0,再验算即可去掉多余的值.
第2题由xy+yz+zx=3及x,y,z是正整数马上能得到x=y=z=1,再往下就行.

只能解这一类题,不过有的时候不一定要用不动点法,特殊的时候可以取倒数
比如a(n+1)=an/(2an+1),a1=1,an=?
取倒数1/a(n+1)=(an+1)/an=1+1/an,所以数列{1/an}是以公差为1的等差数列
1/an=1+(n-1)=n,an=1/n
可以用的情况,我随便举一个题
a(n+1)=(an+3)/(an-1),a1=1,an=?
a(n+1)+x=(an+3)/(an-1)+x=[an+3+x(an-1)]/(an-1)=[(x+1)an+(3-x)]/(an-1)
=(x+1)[an+(3-x)/(x+1)]/(an-1)
令x=(3-x)/(x+1),解得x=-3或x=1.所以
a(n+1)-3=-2(an-3)/(an-1)
a(n+1)+1=2(an+1)/(an-1)
两式相除
[a(n+1)-3]/[a(n+1)+1]=-(an-3)/(an+1)=(-1)^n(a1-3)/(a1+1)=(-1)^(n+1)
再求出a(n+1)近而得到an,这个我不算了,解法就是这样
如果刚才的那种方程有等根
那么就能构造出一个等差数列,直接求就行

a2=1/2
a3=1/12
a4=1/576
an=1/n * 1/n-1 * 1/n-1 *.

用1-（1/2+1/4+.+1/2^(n-1)）,（）中的内容用等比数列求和的方法,然后会发现1更大,你追问的问题成立

符号说明：a[n]中n为下标.
由题意,a[n+1]-1=a[n]*(a[n]-1)
等式两边取倒数,得到1/(a[n+1]-1)=1/(a[n]-1)-1/a[n]
于是有1/a[n]=1/(a[n]-1)-1/(a[n+1]-1),对任意正整数n成立
于是
1/a[1]+1/a[2]+1/a[3]+……+1/a[2008]
=1/(a[1]-1)-1/(a[2009]-1)
=1-1/(a[2009]-1)
要证此式小于1,只需再证a[2009]>1
而a[n+1]-a[n]=a[n]^2-2*a[n]-1=(a[n]-1)^2≥0
因此对任意n>1有a[n]≥a[1]=2,所以a[2009]≥2>1成立,故命题得证.