a1=1/2,an+1=an/an+2,求n/an的sn

郁闷难取名2022-10-04 11:39:541条回答

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axuetao111 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%: a[n+1]=a[n]/（a[n] + 2）
是不是这样子?
那么两边同时取倒数.
1/a[n+1]=[an+2]/an=1+2/an
1/a[n+1] +1 ==2+2/an=2{1/an +1}
所以形如1/an +1是一个等比数列,公比是2.第一项1/(1/2)+1=3
所以1+1/an =3*2^[n-1]
an=1/[3*2^(n-1)-1]
当n=1时,也满足,所以
an=1/[3*2^(n-1)-1]; 1年前

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1.a2=a1/(a1+2)=1/3
a3=a2/(a2+2)=1/7
a4=a3/(a3+2)=1/15
2.猜想an=1/[(2^n)-1].（1）
3.数学归纳法证明
当n=1时,an=1/(2^1-1)=1,（1）式成立
假设当n=k时ak=1/[(2^k)-1]成立
则当n=k+1时有
a(k+1)=ak/(ak+2)
=1/[(2^k)-1]÷{1/[(2^k)-1]+2}
=1/[2^(k+1)-1]
可见当n=k+1时（1）式也成立
所以由数学归纳法可知猜想正确!数列的通项为an=1/[(2^n)-1]

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