循环群必为交换群,但交换群未必是循环群,这句话对吗
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mirror72 共回答了28个问题
|采纳率92.9%- 对.循环群同构于Z/pZ或者Z,直接看出是交换的.一般的交换群,按Abel直和分解,是一些循环群的直和,比如最简单的Klein群,不一定是单个的循环群.
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A1=={e,a^2,a^4,a^6,a^8},A2=={e,a^5}
A1的左陪集分解为:{e,a^2,a^4,a^6,a^8} ∪ {a,a^3,a^5,a^7,a^9}
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则f把 G中的所有元素 e,a,a^2,...,a^(n-1) 映为H中的 e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1) n个元素.由于H是n阶的,所以{ e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1) }就是H的全部元素.于是H也是循环群,由元素f(a)生成
因此与循环群同构的群一定是循环群; 换句话说,非循环群和循环群一定不同构.1年前查看全部
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证明:设群G无非平凡子群,a是G中的非单位元,则H=(a)是G的子群且H≠{e},所以G=H=(a),所以G是循环群.
如果G是无限群,因为G≌Z,但Z有无穷多个非平凡子群nZ,矛盾,G必是有限群.
不妨设G为n阶群,则G≌ Zn,考虑Zn中任一循环子群(a),a∈Zn且非单位元,因为Zn无非平凡子群,所以Zn=(a),故a和n互素,即(a,n)=1这对一切11年前查看全部
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②若|G|1年前查看全部
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由同构的定义知f1(a^m)=a^(m*k1),f2(a^n)=a^(n*k2)
任取g∈G,则必有g=a^m,则
f1.f2(g)=f1(a^(m*k2))=a^(m*k1*k2)
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故f1.f2=f2.f1,从而G的自同构群为交换群1年前查看全部
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任何 Y属于F(G) 存在X属于G 有Y=F(X) 则 因为X=A^N 所以Y=F(A^N)=F(A)^N
(以为同太 乘法可以拿出来) 所以F(X)有生成元 所以为 循环群1年前查看全部
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附证明:
证明:设(G,*)是循环群,a 是G的生成元.
设
,群(G,*)是交换群.
4.几个重要的结论
⑴循环群的子群一定是循环群,
⑵若|G|是素数,则群G一定是交换群,
⑶若|G|≤5,则群G一定是交换群,
⑷若G是有限循环群,|G|=n,.1年前查看全部
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充分性: 若m | n, 可设n = mk.
定义映射φ: G → F, φ(a^i) = b^i, 0 ≤ i < n.
由F = 是m阶循环群, 其中元素可表示为b^i, 0 ≤ i < m.
而由m | n, 有m ≤ n, 因此φ是满射.
以下验证φ是一个同态: 对任意0 ≤ i, j < n, φ(a^i)φ(a^j) = b^i·b^j = b^(i+j).
当i+j < n, 有φ(a^(i+j)) = b^(i+j) = φ(a^i)φ(a^j).
当i+j ≥ n, 有0 ≤ i+j-n < n, 而a^(i+j) = a^(i+j-n)·a^n = a^(i+j-n).
故φ(a^(i+j)) = φ(a^(i+j-n)) = b^(i+j-n) = b^(i+j)·b^(-mk) = b^(i+j)·(b^m)^(-k) = b^(i+j) = φ(a^i)φ(a^j).
因此φ: G → F是一个满同态.
即当m | n时, 存在G到F的满同态.
必要性: 假设存在满同态φ: G → F.
由同态基本定理, F = im(φ) ≌ G/ker(φ).
作为有限群有m = |F| = |G|/|ker(φ)| = n/|ker(φ)|.
故m | n.
任意两个群之间都存在零同态.
而有限循环群之间存在非零同态的充要条件是m, n不互质.1年前查看全部
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2, 3均为素数, 但S3不是循环群, 连交换群都不是.
即便p, q都是奇素数也不成立, 例如有21阶非交换群.
如果将前提改为G是有限交换群, 且p ≠ q, 那么结论是成立的.
因为G作为交换群, 其阶数为pq, 其p阶子群(Sylow p-子群)存在唯一,
所以G中只有p-1个阶数为p的元素.
同理, G中只有q-1个阶数为p的元素, 再加上单位元共(p-1)+(q-1)+1 = p+q-1个.
剩下的pq-(p+q-1) = (p-1)(q-1) > 0个元素的阶数都是pq, 所以都是G的生成元.
因此G是循环群.1年前查看全部
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还有子群的问题,说n的每个正因子d恰好有一个d阶子群,但是书上的例子G是模12加群,12的正因子有1,2,3,4,6,12,那么=={0}后面注释是1阶子群,不应该是12阶子群吗?
还有一道题设G=是15阶循环群,它的子群有,={a^3,a^6,a^9,a^12,e},={a^5,a^10,e},G.这里面,我能明白,但,它们是哪个因子的子群啊?
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比如n=15时,k可以取值2,那么b=a^2的各个幂次的结果是:b^0=e,b=a^2,b^2=a^4,b^3=a^6,b^4=a^8,b^5=a^10,b^6=a^12,b^7=a^14,b^8=a^16=a,b^9=a^18=a^3,b^10=a^20=a^5,b^11=a^22=a^7,b^12=a^24=a^9,b^13=a^26=a^11,b^14=a^28=a^13.这样生成的循环群还是.
2、群的阶指的是元素的个数.n阶群的子群H的阶r一定是n的因子.=={0}里面只有一个元素,自然是1阶子群了.
3、群G的子群有两个特殊的,一个是1阶子群{e},一个包含所有元素的自身G,这两个称为平凡子群.
G=是15阶循环群,子群不就是G自身嘛,貌似这个地方应该是.G的子群是1阶子群={e},3阶子群,5阶子群,15阶子群G.1年前查看全部
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这个是什么意思啊?
单位元和生成元怎么区别呢?
我都搞不动哪个是题目和答案..
首先非常感谢你回答了我的问题,我也看懂了你的回答.
照你的解释,(A +5)群,生成元是1,是不是就是1+1+1+1+1=5 ?
但是群里只有A{0 1 2 3 4} 这又是怎么回事啊?了不起的小石头1年前1
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带口罩的蚊子1年前1
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chenpangzi_2000 共回答了18个问题
|采纳率83.3%(1)
任取G的一个不为单位元的元素a,考查由a生成的子群.
这是一个循环群,且为G的子群.
由Lagrange定理,这个群的阶数整除P,而显然不是平凡群(因为a不是单位元),而P为素数,故的阶数只能为P.
那么其实就是整个群G.从而G为循环群.
(2)
由上面证明看出,任何一个不为单位元的元素都是G的生成元.
不懂可以再问~1年前查看全部
- G的阶为n,G的不同子群有不同的阶,试证G是循环群
番外2391年前0
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共回答了个问题
|采纳率
- G为11阶群,e为G单位元,证明G除自身和{e}外没有其他子群G为循环群!
高良姜1年前1
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woaihlp 共回答了28个问题
|采纳率85.7%任取异于单位元的元素g属于G,考察e,g,g^2,g^3,...,g^10这11个对象,若他们中间有两个相等,g^a = g^b且a1年前查看全部
- 无限循环群的幺元如何由生成元得到?
无限循环群的幺元如何由生成元得到?
循环群定义其任意元素可以由生成元的幂得到,可是对于无限循环群它的幺元如何由生成元得到?双歧路1年前1
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mlxsj 共回答了19个问题
|采纳率94.7%零次幂
a^0=e1年前查看全部
- G=是6阶循环群,求G的所有子群
feifei08011年前1
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低调的vv 共回答了24个问题
|采纳率83.3%有限群的子群的阶数是母群的因子,
6的因子有{1,2,3},故有3个子群,分别是,
{e},即单位元群,e=a^0,
,即1年前查看全部
- 对于群来说,下列判断错的是A.群中除了幺元外,不可能再有等幂元 B.群与其子群共一幺元C.循环群的生成元是唯一的D.任何
对于群来说,下列判断错的是
A.群中除了幺元外,不可能再有等幂元
B.群与其子群共一幺元
C.循环群的生成元是唯一的
D.任何一个循环群必定是阿贝尔群ll在线1年前1
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只为听见你 共回答了21个问题
|采纳率85.7%A 对的.设a是等幂元.则aa=a,则a=e.(e是幺元)
B 对的.由A得知e的唯一性,首先子群也是一个群,必须存在幺元,而子群元素又是大群里的,大群里的唯一幺元就是大群的幺元.
C 错.3阶循环群C3==.任意非二阶素数循环群都存在不唯一的生成元
D 对的.循环群的元素都是a^m,a^n的形式.因此a^m*a^n=a^m+n=a^n*a^m1年前查看全部
- 证明阶为素数的群必是循环群
蓝黑之间1年前1
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7102 共回答了22个问题
|采纳率90.9%设群(G,*)的阶是素数p,a不是G的单位元,若a的阶是m,则m>1,H={ar | r属于Z}是关于*的一个m阶循环子群,又m是p的因数,但素数p只有p 和1,m又不等于1,故m=p,所以(G, *)是一个循环群1年前查看全部
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