如n阶矩阵A满足A2=A,证明:A的特征值只能为0或-1

lf94082022-10-04 11:39:541条回答

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dupan2007 共回答了16个问题 | 采纳率100%
题目错了,应该是0或1.
设Ax=λx,x是非零向量,则0=(A^2-A)x=(λ^2-λ)x,于是λ^2-λ=0,从而λ=0或1.
我看到你连续问了好几道基本的问题,建议你好好看看书,这些已经是最简单的问题了,不会做的话考试很危险.
1年前

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其中E是n阶单位矩阵
麦龙贾1年前1
baiyf77 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%
因为 A^2 = -2A
所以 A^2+2A = 0
所以 A 的特征值只能为 0 和 -2.
而B与A相似,所以B的特征值为0,-2,且 r(B)=r
所以 B 的特征值为 n-r 个0,r个-2 [ A,B可对角化?]
所以 B+E 的特征值为 n-r 个1,r个-1
所以 |B+E| = (-1)^r
tr(B) = n-r -r = n-2
关于“若N阶矩阵A与B相似,则A与B的特征值多项式相同”证明的疑问
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证明:|B-λE|=|P^(-1)AP-λE|=|A-λE|.关键是|B-λE|=|A-λE|只表明两个行列式数值相等,并不说明B-λE和A-λE是相同的矩阵,从而特征值λ相等.
可特征多项式是|B-λE|、|A-λE|两个行列式的展开,行列式数值相等,怎么证明其展开式是相同的?
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ee边的疯子 共回答了10个问题 | 采纳率90%
他说的是特征多项式相等!
没有说矩阵相等!
你可以看看特征多项式的定义:
一个方阵X的特征多项式f(λ)就是|X-λE|.
那么命题是完全正确的!
您可能有些概念混淆了.
首先行列式就是行列式,您在这里说的“行列式的展开”可能是种误解.
(不过倒是有:行列式按一行或一列展开:这是行列式递推计算式)
举个例子吧:
有一个3阶方阵:
a,b,c
A=[ x,y,z ]
l,m,n
那么它的行列式为:
a,b,c
|A|=| x,y,z |=a*y*n+b*z*l+x*m*c-c*y*l-z*m*a-x*b*n
l,m,n
您是不是以为上式的左式叫行列式,上式的右式叫行列式的展开?
其实它们是一个东西,只是写得不一样.
如果您把行列式与行列式的展开理解成了是两个东西,比如:
“行列式”像一个左右带着竖线的矩阵.
“行列式的展开”是一个多项式;
那么其实:那左右的竖线即为一个法则,矩阵即为原象,多项式即为象.
就好比:
现在已经证明了
f(x1)=f(x2)
可是您说这并不能证明f(x1)与f(x2)的展开相等.
这问法似乎诡谲.
若n阶矩阵A与B相似,证明它们的特征矩阵相似
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线代
胖胖的ii1年前1
laomouse 共回答了23个问题 | 采纳率78.3%
题:若n阶矩阵A与B相似,证明它们的特征矩阵相似
以下用E表示单位矩阵(幺阵),用E/X表示矩阵X的逆阵.
题意即:
若存在可逆矩阵P,使得 E/P*A*P=B,
则存在可逆矩阵Q,使得 E/Q*(λE-A)*Q= (λE-B)
证:取Q为P即是.好证极了.略.
还是写一下吧.
证:E/P*A*P=B,
故 E/P*(λE-A)*P= E/PλEP-E/P*A*P=E/PλP-B=E/P*P*λE-B=λE-B
故λE-A 与λE-B 相似.
(1)若n阶矩阵A与n阶对角矩阵A相似.(2)n阶矩阵A有n个相异特征值.这两个是A可对角化的什么条件?
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只是充分条件,不是充分必要条件把?
stella_kumiko1年前1
不正确 共回答了23个问题 | 采纳率78.3%
1是定义,肯定是充要,2是充分不必要条件
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把Q^(-1)看成Q即可
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X B^(-1)
再用它和原矩阵乘在一起,等于E,考虑第二行第一列的元素,即有
CA^(-1)+BX=0
故X=-B^(-1)CA^(-1)
故其逆矩阵为
A^(-1) 0
B^(-1)CA^(-1) B^(-1)
考虑他的伴随矩阵,就能发现他一定是系三角分块.
最好是追问.
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特征向量与特征值
1、A,B可换,且A有n个互异的特征值,求证A的特征向量也都是B的特征向量
2、求证:任意两个n阶矩阵A和B,AB和BA有相同的特征多项式,若AB=BA,则A和B至少有一个公共的特征向量
周比唱1年前1
nickyin0710 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%
好麻烦 我来答一个吧
因为A有n个相异特征值,所以A可对角化
即存在可逆矩阵P,P^-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)
由AB=BA得 (P^-1AP)(P^-1BP)=(P^-1BP)(P^-1AP)
所以有 diag(λ1,λ2,...,λn)(P^-1BP)=(P^-1BP)diag(λ1,λ2,...,λn)
由于λ1,λ2,...,λn两两不等
所以 P^-1BP 是对角矩阵
所以A的特征向量都是B的特征向量
设n阶矩阵A与B相似,试证:|A|=|B|
设n阶矩阵A与B相似,试证:|A|=|B|
希望大家注意素质,要紧灌水!
听雨客舟1年前1
gw0707 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%
n阶矩阵A与B相似
即有非奇异矩阵P,使得
P^(-1)AP=B
两边取行列式:
|P^(-1)AP|=|B|

|P^(-1)|*|A|*|P|=|B|

|P^(-1)|*|A|*|P|=|P^(-1)|*|P|*|A|=|A|
所以:|A|=|B|
刘老师,已知n阶矩阵A与上三角矩阵B=(bij)nxn相似,则A的特征值为?
pm7409231年前1
saichengzs 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%
相似矩阵有相同的特征值.所以A的特征值即B的特征值.
又 对角阵和上三角阵(或下三角阵)的特征值为对角元素.
所以A的特征值为B的对角元素Bii