非齐次微分方程有三个线形无关特解y1(x),y2(x),y3(x)则它的通解为

冷眼看人7402022-10-04 11:39:541条回答

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christine80 共回答了20个问题 | 采纳率90%
是二阶的微分方程吗?
应该先求出他的齐次方程的解
y齐=C1(y2(x)-y1(x))+C2(y3(x)-y2(x))
所以原方程的通解为
y=y1(x)+y齐=C1(y2(x)-y1(x))+C2(y3(x)-y2(x))+y1(x)
1年前

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二次非齐次微分方程特解
RT,怎么求
比如y''-4y'+4y=f(x)
或者说一般一点的y''-(a+b)y'+aby=f(x) (*) (a,b为常数)
的特解怎么求
仅限于考研的水平,是不是对f(x)有什么要求
也就是说,满足什么样条件的f(x),对*式可以有一个一般性的特解的求法.
gdlwg1年前2
小怡子 共回答了16个问题 | 采纳率75%
你要特解,其实特解和你的通解是有关系的,我就把一般算法给你总结出来了,是我自己的复习笔记,
二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步:求特征根:
令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)²=-β²)
第二步:
若r1≠r2,则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步:
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是关于x的多项式,且λ经常为0)
则y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同样形式的多项式,例如P(x)是x²+2x,则设Q(x)为ax²+bx+c,abc都是待定系数)
若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^(λx)
若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^(λx)
若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
若α+βi不是特征根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
若α+βi是特征根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定系数)
第四步:解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程,对照系数解出待定系数.
最后结果就是y=通解+特解
通解的系数C1,C2是任意常数
有问题可以再问我,拿例子的话好说明问题.
二阶常系数非齐次微分方程y″-4y′+3y=2e2x的通解为y=______.
water921年前1
一支山茶花 共回答了19个问题 | 采纳率100%
解题思路:先求出对应齐次方程的通解,然后求出非齐次微分方程的一个特解,最后利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构写出通解.

对应齐次方程的特征方程为 λ2-4λ+3=0,
求解可得,其特征根为 λ1=1,λ2=3,
则对应齐次方程的通解为 y1=C1ex+C2e3x
因为非齐次项为 f(x)=e2x,且 2 不是特征方程的根,
故设原方程的特解为 y*=Ae2x
代入原方程可得 A=-2,
所以原方程的特解为 y*=-2e2x
故原方程的通解为 y=y1+y*=C1ex+C2e3x -2e2x,其中C1,C2为任意常数.

点评:
本题考点: 二阶常系数非齐次线性微分方程求解;微分方程的解的结构.

考点点评: 本题考察了利用微分方程解的结构求解二阶常系数非齐次微分方程通解的方法,是一个基础题型,需要熟练掌握.

非齐次微分方程问题
非齐次微分方程问题

楼少1年前2
fangxiankun_311 共回答了20个问题 | 采纳率90%
特征方程:t^2-3t+2=0,t=1,2
所以通解y[1]=C1e^x+C2e^(2x)
设特解y[2]=Axe^(-x)+Be^(-x)
则y'[2]=Ae^(-x)-Axe^(-x)-Be^(-x)
y''[2]=-Ae^(-x)-Ae^(-x)+Axe^(-x)+Be^(-x)=-2Ae^(-x)+Axe^(-x)+Be^(-x)
所以-2Ae^(-x)+Axe^(-x)+Be^(-x)-3Ae^(-x)+3Axe^(-x)+3Be^(-x)+2Axe^(-x)+2Be^(-x)=xe^(-x)
A=1/6,B=5/36
所以通解为y=y[1]+y[2]=C1e^x+C2e^(2x)+1/6xe^(-x)+5/36e^(-x)
解一个二阶常系数非齐次微分方程y"+y'-2y=(6x-2)e^x
lsl5211年前1
攀闻钱 共回答了13个问题 | 采纳率100%
特征方程 r^2 + r - 2 = 0 特征根 r1 = 1, r2 = -2
y"+y'-2y=0 的通解y= C1 e^x + C2 e^(-2x)
原方程特解设为 y* = x ( Ax+B) e^x
y* ' = . y * '' = .
代入原方程, 确定 A=1 B=-4/3
原方程通解为 y = C1 e^x + C2 e^(-2x) + (x²-4x/3) e^x
非齐次微分方程(高手进)一阶非齐次常微分方程 y=e^[-∫(-1/x)dx][∫(1/lnx)e^∫(-1/x)dx+
非齐次微分方程(高手进)
一阶非齐次常微分方程
y=e^[-∫(-1/x)dx][∫(1/lnx)e^∫(-1/x)dx+C]
这是一道常微分方程题,我想请高手分步解题:
e^[-∫(-1/x)dx]=?
∫[(1/lnx)e^∫(-1/x)dx]dx=?
费华鹏1年前1
dm_b 共回答了18个问题 | 采纳率83.3%
e^[-∫(-1/x)dx]=e^[∫1/xdx]=e^lnx=x
e^[∫(-1/x)dx]=e^-lnx=1/x
所以∫[(1/lnx)e^∫(-1/x)dx]dx=∫[(1/lnx)*1/x]dx=∫1/lnxd(lnx)=ln(lnx)
求二阶常系数非齐次微分方程的通解,上图
67853191年前2
老佛爷 共回答了22个问题 | 采纳率81.8%
令y' = v,y'' = v'
y'' - 1/x · y' = xe^x
v' - v/x = xe^x,e^∫ - 1/x dx = e^- ln|x| = 1/x
v'/x - v/x² = e^x
(v/x)' = e^x
v/x = ∫ e^x dx = e^x + C
y' = xe^x + Cx
y = ∫ xe^x dx + C∫ x dx = xe^x - ∫ e^x dx + Cx²/2 = xe^x - e^x + Cx²/2 + D
y = (x - 1)e^x + Ex² + D
C,D,E均为任意常数,E = C/2
一道二阶常系数非齐次微分方程题,λ是1,特征方程都是虚根,为什么λ还是特征方程的单根?
风之子一号1年前1
愤怒nn人 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%
λ对应的就是特征方程根的实数部分,不用看虚数部分的数字,比如这里是1+(-)2i,实数部分就是1,和λ相同,说明是单根
帮求一下一个非齐次微分方程的特解!
帮求一下一个非齐次微分方程的特解!
y''-y=sinx 就是跟我说一个特解
zhouningning1年前0
共回答了个问题 | 采纳率
证明:n阶常系数非齐次微分方程的通解正好是其对应的齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解.
mrldser1年前1
无标题1122 共回答了28个问题 | 采纳率96.4%
设y*是n阶常系数非齐次微分方程的一个特解,y1,y2,...,yn是对应的齐次方程的n个线性无关的特解,则.齐次方程的通解为Y=C1y1+C2y2+...+Cnyn.
对于非齐次微分方程的任意一个解y,则y-y*是对应的齐次方程的一个解,于是存在不全为零的n个数,C1,C2,...,Cn,使得y-y*=C1y1+C2y2+...+Cnyn.
于是y=y*+C1y1+C2y2+...+Cnyn.
为什么对二阶常系数非齐次微分方程的通解求两次导数就得到了原来这个微分方程?
为什么对二阶常系数非齐次微分方程的通解求两次导数就得到了原来这个微分方程?
复习全书上面,你可以求一个二阶常系数非齐次线性微分方程的通解,然后再对这个通解求两次导,会发现又会是原来那个方程.比如,y''-3y'=2-6x. 通解为y=x^2+C1+C2*e^(3x),你对这个通解求两次导,注意要把两个任意常数C1,C2,消去,就可以得到y''-3y'=2-6x.
geniusrock1年前1
zx411 共回答了18个问题 | 采纳率77.8%
晕菜,这就是验根呀.
就象解一元一次方程
3x=6,解得x=2
把x=2代入方程,两边不相等吗?
如果不相等就是解错了.
二阶常系数非齐次微分方程求通解时,如何设特解?比如,y”-2y`-3y=3x+1求通解,
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特征方程解是-1,3为什么把特解设为y=b1x+b2
藍欣紫1年前1
abcylg 共回答了14个问题 | 采纳率100%
由于(3x+1)可认为是(3x+1乘e的0次方),0不是特征方程的根,所以根据二阶常系数非齐次线性方程的解的结构特点,也为了将特解代入时能将变量消去使左右等价,应设成与(3x+1)等次的任意多项式,所以应是一次多项式y=b1x+b2
对于一个二阶常系数非齐次微分方程 如果特征方程的一个解出现在此微分方程的右边
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对于一个二阶常系数非齐次微分方程,例如:y"+py'+qy=r(x) 如果其特征方程的一个解出现在r(x)里时,该如何猜测它的特解?例如:y"+3y'+2y=25+x(e^-x) 猜测它的特解为y*=A+x(K0+K1x)(e^-x) 其中A K0 K1为常数,因为特征方程的一个解为-1 所以特解方程里多了一个x,可在y"-2y'+y=(e^x)cosx中,特征方程的解为两个1,可为什么它的特解方程还是y*=(e^x)(Acosx+Bsinx) 而不用乘以x^2呢?
holy981年前3
淡咖啡888 共回答了24个问题 | 采纳率91.7%
  e^x*cos(x)对应的特征根是x^2-x+1/2=0的根.  这个是因为有欧拉公式e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).当然你设解为y*=Ae^(x(1+i))+Be^(x(1-i))可以按照齐次方程的特解设的方法来理解.因为那个欧拉公式,就可以将解设为 y*...
非齐次微分方程特解怎么设,尤其是有共轭复根时,如y''+y=sinx的特解设法为
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y=x(asinx+bcosx)为什么,
21世纪牛魔王1年前2
tmlake 共回答了23个问题 | 采纳率87%
其实就是用了一步欧拉公式,关于具体设法高数里面就有介绍,您肯定非常容易查到,我不重复了.这一步的推导异常简单,只需要通过欧拉公式把带有三角函数的特解形式变换为e指数形式就得到了多项式形式(也就是特征根为非共轭复根的形式)的特解,同理,也能从第一种形式通过欧拉公式变换为第二种形式,实际上这两种形式的特解在本质上一模一样,或者说本身就是同样的式子,可以相互变化.
具体的推导您可以到图书馆借一本任意版本的常微分方程,然后找到高阶非齐次方程的特解这一部分,肯定有我所说的那一步推导,而且即使没有任何专业数学功底也能很简单看懂.
根据我的经验,看一遍这个推导非常有利于记忆,而且万一考试的时候忘记了第二种形式的特解也可以自己推导出来.
如果您看这几布推导依然感觉有问题的话请追问.
第二题 什么是线性微分方程?齐次微分方程与非齐次微分方程都是其中的吧?
网络流浪儿1年前1
索妮 共回答了22个问题 | 采纳率90.9%
线性与否看次数:方程中函数与导函数的次数为1的微分方程,叫做线性微分方程;
齐次与否,看比例,函数f(x,y)若符合f(ax,ay)≡f(x,y),则为齐次方程,否则不是.
按照上述定义,这两个概念是互相独立的.即齐次方程可以是线性的,也可以是非线性的.比如
y'+y=0是齐次的(容易验证对于不为零的a:(ay)'+(ay)=0与原方程等价)也是线性的;
而y'^2=0是齐次的,但线性.
求一道三阶非齐次微分方程的特解方程为y'''-2y''-3y1=x^2+2x-1陈文灯的书用微分算子法得到的特解和我用普
求一道三阶非齐次微分方程的特解
方程为y'''-2y''-3y1=x^2+2x-1
陈文灯的书用微分算子法得到的特解和我用普通方法得到的特解差一个数
下面说下本人的算法,请高手看看是不是我哪里算错了
方程的特征根为0,-1,3
因为0是特征根,所以特解应该设为xR(x)形式
即y*=x(a0X^2+a1X+a2)
所以我代入原方程求出a0,a1,a2
我求的特解只有三项,都是代x的
但是陈文灯用微分算子法求出的结果里面有四项,多出一个常数27分之20
我不知道是怎么回事,我看他的微分算子法也没问题
为什么两种算法求出的结果不一样?我的错了?
第三项是3y' 不是3y1
我求出的a0,a1,a2和陈文灯求的前三项都一样,就不知道他怎么多出来一个常数
n0olah1年前1
lwlkps 共回答了20个问题 | 采纳率80%
特解不止一个,任何一个满足条件的解都是特解.
你的结果和陈文灯书上的结果应该都对,对本题若p(x)是一个解,则p(x)+c显然也是一个解,因为c'''-2c''-3c'=0.
这种寻找其他解决途径的精神是值得鼓励的,但是还是要把基本概念搞清楚啊,祝你考试顺利!
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1、对应的齐次线性方程的特征方程是r^2-3r+2=0,根是1.2.所以齐次线性方程的通解是y=C1*e^x+C2*e^(2x).
因为λ=0不是特征方程的根,所以非齐次线性方程的特解可设为y*=A,代入得A=1.所以y*=1.
所以非齐次线性方程的通解是y=1+C1*e^x+C2*e^(2x).
2、对应的齐次线性方程的特征方程是r^2-6r+8=0,根是2,4.
由叠加原理,非齐次线性方程y''-6y'+8y=e^x与y''-6y'+8y=e^(2x)的特解之和是原非齐次线性方程的特解.
因为λ=1不是特征方程的根,所以y''-6y'+8y=e^x的特解为Ae^x.因为λ=2是特征方程的单根,所以y''-6y'+8y=e^(2x)的特解为Bxe^(2x).
所以原方程的一个特解为Ae^x+Bxe^(2x),其中A,B是任意实数.
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t^2=a^2+b^2+2abx
t'=a
t'-2t^2+x
=a-2a^2x^2-2b^2-4abx+x=0
2a^2x^2+(4ab-1)x+(2b^2-a)=0
x=[-(4ab-1)+-sqrt((4ab-1)^2-8(2b^2-a)a^2)]/(4a^2)
(4ab-1)^2-8(2b^2-a)a^2)>0
8a^3-8ab+1>0
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wen97 共回答了14个问题 | 采纳率100%
重根就是说 p²-4q=0,q=p²/4
所以 成了 λ²+pλ+q =λ²+pλ+p²/4 = (λ+p/2)²=0
得2λ+p=0
初中知识