n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 ___________ 维线性空间.
kerrin13162022-10-04 11:39:541条回答
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snowpure 共回答了17个问题 |采纳率88.2%- n-1
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y=（C1+C2 x）ex，
故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为
（r-1）2=r2-2r+1，
故 a=-2，b=1．
对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x，
设其特解为 y*=Ax+B，
代入y″-2y′+y=x 可得，
0-2A+（Ax+B）=x，
整理可得
（A-1）x+（B-2A）=0，
所以 A=1，B=2．
所以特解为 y*=x+2，
通解为 y=（C1+C2 x）ex +x+2．
将y（0）=2，y（0）=0 代入可得，
C1=0，C2=-1．
故所求特解为 y=-xex+x+2．
故答案为-xex+x+2．点评：
本题考点： 二阶常系数齐次线性微分方程求解；微分方程的显式解、隐式解、通解和特解．
考点点评： 本题是一个中档型题目，考察了线性常微分方程的求解方法．题目的难度系数并不大，只是计算量较大．1年前查看全部
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y''+4y'=0
通解为
a*exp（x）+b*exp(-4x)
明白了请采纳，谢谢~1年前查看全部
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①对应的特征方程为：
λ3-2λ2+λ-2=0，②
将②化简得：
（λ2+1）（λ-2）=0，
求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，
于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，
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所以
特征方程为(r-2)^2=0
r^2-4r+4=0
所以
二阶常系数线性齐次微分方程是:
y''-4y'+4y=01年前查看全部
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runpis 共回答了14个问题
|采纳率92.9%我估计你的问题应该是关于二阶线性齐次微分方程.
二阶微分方程因为由2阶导数,故通解的解空间为2维的,即基本解有2个函数,即通解的参数有2个.
基本解就要求线性无关,正如楼上的回答,如果线性相关了,一个方程就可由另一个推出了,那么还是一个函数,通解的参数仍只有1个.
其实楼上的回答很好,我这么罗嗦是为了完成今天领到的任务.1年前查看全部
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微分方程对应的特征方程的四个根为4i,-4i,3i,-3i
因而特征方程为(r^2+16)(r^2+9)=0
即r^4+25*r^2+144=0
对应的微分方程为
y''''+25y''+144y=01年前查看全部
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则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y（0）=0，y′（0）=0的解为：y=(
−a b2
x)ex+a+b b2
x−1 b a b2 (．
−a b2
x)ex+a+b b2
x−1 b a b2 山里的孩子王1年前1 -
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Y=（c1+c2x）ex，
故可设非齐次微分方程y″+ay′+by=x的特
y*=mx+n，
y*′=m，y*″=0，
代入非齐次微分方程：y″+ay′+by=x，
可得：am+b（mx+n）=x，
从而：m＝
1
b，n＝−
a
b2，
所以：y*＝
1
bx−
a
b2
于是，非齐次微分方程y″+ay′+by=x的通
y＝Y+y*＝(c1+c2x)ex+
1
bx−
a
b2，
又由：y（0）=0，y′（0）=0可得：
c1−
a
b2＝0
c1+c2+
1
b＝0，
所以求得：
c1＝
a
b2
c2＝−
a+b
b2，
所以，y＝(
a
b2−
a+b
b2x)ex+
1
bx−
a
b2．点评：
本题考点： 二阶常系数齐次线性微分方程求解；二阶常系数非齐次线性微分方程求解．
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非齐次方程,使用公式法,y=e^(-∫p(x)dx)(c+e^(-∫p(x)q(x)dx)
还有一些特殊的,比如伯努利方程
二阶齐次方程,代换法
令y'=p,则y''=pdp/dy
层层积分法,
二阶非齐次,使用公式法
形如y''+qy'+py=Q(x)
先求齐次方程通解,
先求特征根:r^2+qr+p=0
则齐次方程通解为：
c1e^(r1x)+c2e^(r2x) 有两不等实根
(c1+c2x)1e^(r1x) 有两等实根
e^(r1x)（c1cosr2x+c2sinr2x) 有虚根r1+ir2
再求特解
如果特征根与Q(x)指数有一个相等,则可设特解为xQ(x)
如果特征根与Q(x)指数有2个相等,则可设特解为x^2Q(x)
如果特征根与Q(x)指数有没个相等,则可设特解为Q(x)
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y'' + 4y = 0
附：
二阶常系数齐次线性微分方程
标准形式
y″+py′+qy=0
特征方程
r^2+pr+q=0
通解
两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)
共轭复根r=α+iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
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