罗朗级数展开式 环形域与展开的方法求详细解释|Z|

把y=e^x展成幂级数,
由e^x的幂级数的一致收敛性
只需代x=-1/(z-1)即可

首先,最基础的是要掌握两个级数的定义,即级数的展开式,
这个知道的话,那么从形式上看,
泰勒级数是只含正幂项和常数项.
而一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点.但是如果变量x是负指数幂的话,我们仍然可以将其展开为一个级数,这就是洛朗级数.
洛朗级数,是幂级数的一种,它不仅包含了正数次数的项,也包含了负数次数的项.有时无法把函数表示为泰勒级数,但可以表示为洛朗级数.
可以认为泰勒级数是洛朗级数的一种特殊形式

因为上面的|z|2

因为 1/(z-z_0)^n = r^(-n)*e^(-nt){其中r,t 分别是z-z_0 的魔和幅角} 的围道积分,
当n=1时,为2(Pi)i;当n=1时,为2(Pi)i;
当n不等于1时,都为0.
所以最后一个式子中只有 k=n 的一项为2(Pi)i,其它的都是0.

f(z) = -2/((z-4)(z-2)) = 1/(z-2)-1/(z-4).
当|z-1| > 1,
1/(z-2) = 1/((z-1)-1) = 1/(z-1)·1/(1-1/(z-1)) = 1/(z-1)·∑{0 ≤ n} 1/(z-1)^n = ∑{1 ≤ n} 1/(z-1)^n.
当|z-1| < 3,
1/(z-4) = -(1/3)/(1-(z-1)/3) = -(1/3)·∑{0 ≤ n} ((z-1)/3)^n = -(1/3)·∑{0 ≤ n} (z-1)^n/3^n.
于是对1 < |z-1| < 3, f(z) = 1/(z-2)-1/(z-4) = ∑{1 ≤ n} 1/(z-1)^n+∑{0 ≤ n} (z-1)^n/3^(n+1).
即为f(z)在1 < |z-1| < 3内的Laurent级数展开.

泰勒级数是只含正幂项和常数项
罗朗级数既有正幂项,常数项又有负幂项
泰勒不只是在0展开 麦克老林展开式只在x=0处展开

Residue是一个数学概念,具体问物理意义是什么,我也说不上来,就想问复数的物理意义是什么一样,可以有很多……复数是个数学概念,在物理上很多情况下是作为一个很方便的数学工具来用的.
之所以要学习,康托积分,就是因为我们可以把一些积分转化为康托积分,然后通过找到它的Residue（留数）,根据留数定理,在某康托上的积分结果=2pi*i {在此康托内Residue的和（如果residue在康托上则算1/2）}.
关于罗朗级数：
对f(z)在z=z0处的展开,如果f(z)在z=z0处是analytic的,也就是无限可导的,那么就可以展开为f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)^2+.+b1(z-z0)^{-1}+b2(z-z0)^{-2},而留数就是b1这个在(z-z1)^{-1}前的系数.
好.上面的貌似都是书上有的,可能并没有回答你的问题
那么为什么b1那么重要呢?首先,这里输入数学公式不方便,int就代表积分,oint代表环路积分.
对f(z)进行环路积分的时候,由于我们已经把它展开了,可以证明oint{z^n dz}=0当n不是-1的时候,而当n是负一的时候oint{z^{-1} dz}=2pi*i.其实这是“留数定理”的证明过程,也说明了为什么留数是负一次幂前面的那个系数.
至于物理意义,我在百度上找到一个（链接在参考资料里给出了）：“
解析函数f（z）沿一条正向简单闭曲线的积分值.严格定义是：f（z）在 0＜｜z－a｜ ≤R上解析,即a是f（z）的孤立奇点,则称积分值（1／2πi）∫｜z－a｜＝Rf（z）dz为f（z）关于a点的留数,记作Res[f（z）,a] .如果f（z）是平面流速场的复速度,而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心）,则积分∫｜z－a｜＝Rf（z）dz表示旋源的强度——环流量,所以留数是环流量除以2πi的值.由于解析函数在孤立奇点附近可以展成罗朗级数：f（z）＝∑ak（z－a）k ,将它沿｜z－a｜＝R逐项积分,立即可见Res[f(z),a]＝a-1 ,这表明留数是解析函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数. ”