∮xy^2dy-x^2ydx,其中C为圆周x^2+y^2=a^2,方向为逆时针

dingli46692022-10-04 11:39:541条回答

∮xy^2dy-x^2ydx,其中C为圆周x^2+y^2=a^2,方向为逆时针
用格林公式算积分,得∫∫x^2+y^2dxdy
题目里有x^2+y^2=a^2,少乘了1/2,
为什么不能提出来?什么情况才可以提出来?
a^2∫∫dxdy=πa^4
∫∫dxdy不是等于区域面积么?

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cmcccao 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%
∮xy^2dy-x^2ydx=∫∫x^2+y^2dxdy=∫(0,2π)dθ∫(0,a)r^3dr
=2π(1/4)r^4︱(0,a)=(1/2)πa^4
注意:∫∫x^2+y^2dxdy是二重积分,在D上x^2+y^2≤a^2
1年前

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补线段L1:y=0,x:-a→a
则L+L1为封闭曲线,可以用格林公式
∮(L+L1) xy²dy-x²ydx
=∫∫ (y²+x²) dxdy
=∫[0→2π]dθ ∫[0→a] r³ dr
=2π(1/4)r^4 |[0→a]
=(1/2)πa^4

下面计算所补线段上的积分
∫(L1) xy²dy-x²ydx=0

因此:原积分=(1/2)πa^4-0=(1/2)πa^4

【数学之美】团队为您解答,若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
L为取正向的圆周,x^2+y^2=R^2,求曲线积分∮xy^2dy-x^2ydx的值(答案是πR^4/2)
L为取正向的圆周,x^2+y^2=R^2,求曲线积分∮xy^2dy-x^2ydx的值(答案是πR^4/2)
下面是某网友的解答:
xy^2=Q(x)
-x^2ydx=P(x)
利用格林公式
∮xy^2dy-x^2ydx=二重积分(dQ/dx-dp/dy)dxdy=二重积分(x^2+y^2)dxdy=R^2二重积dxdy=R^2*πR^2/2
=πR^4/2 因为取得正向圆周,所以二重积dxdy=圆面积的一半.
我的问题是:为什么面积取一半?
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因为取格林公式后,由线积分变成面积分,二重积分(x^2+y^2)dxdy,(x^2+y^2)不能用圆周方程
x^2+y^2=R^2替换,因为不在线上一重积分了,改为在圆面上二重积分了,应该用极坐标计算,r^2.rdr积分再乘以2pi.
xy^2dy=(x^3+y^3)dx 求通解
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xy^2dy=(x^3+y^3)dx
变形得:y'=(x/y)^2+y/x
令u=y/x,代入得:
u+xu'=1/u^2+u xu'=1/u^2
u^2du=dx/x
u^3/3=lnx+lnC
通解为:(y/x)^3=3ln(Cx)
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xy^2=Q(x)
-x^2ydx=P(x)
利用格林公式
∮xy^2dy-x^2ydx=二重积分(dQ/dx-dp/dy)dxdy=二重积分(x^2+y^2)dxdy=R^2二重积dxdy=R^2*πR^2/2
=πR^4/2 因为取得正向圆周,所以二重积dxdy=圆面积的一半.
不知道看的懂否,符号有够肯跌 哈哈
问一道格林公式的题计算 ∫xy^2dy-x^2ydx,其中C为圆周x^2+y^2=a^2.我计算到∫xy^2dy-x^2
问一道格林公式的题
计算 ∫xy^2dy-x^2ydx,其中C为圆周x^2+y^2=a^2.
我计算到∫xy^2dy-x^2ydx=∫∫a^2dxdy=a^2∫∫dxdy,然后∫∫dxdy=πa^2,所以最后算出来结果是πa^4,可是跟答案πa^4/2不一样,请问一下我哪里算的不对?
我知道用参数 ρ可以算出正确答案,可是我想知道像我那样做为何不对
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∮xy^2dy-x^2ydx = ∫∫(x^2+y^2)dxdy ≠ ∫∫ a^2dxdy !
用高斯公式已将曲线积分化为了二重积分,
是在整个区间D上,不是在圆周上.

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